Канальные методы

Вторая прямая задача – расчет обтекания двумерных решеток

Профилей на осесимметричных поверхностях тока

После решения задачи об осесимметричном течении (I прямая задача) возникает необходимость решения II-ой прямой задачи – задачи расчета обтекания решетки лопастей на поверхности тока.

Канальные методы

Первыми способами расчета течения в межлопастном канале на поверхности тока были одномерные или т.н. канальные методы, которые строго справедливы для решеток с бесконечно большой густотой, а практически применимы при l/t>2. Скорость вдоль линии тока в этих методах рассчитывается из уравнения для осевого вихря в межлопастном канале, которое может быть получено из условия равновесия сил в проекции на оси S и n (рис.2.12.).

Составим уравнения движения применительно к элементу длиной dS в направлении движения и шириной dn в направлении нормали (рис. 2.1).

На выделенный объем действуют силы инерции:

¾ центробежная сила переносного движения (ω=const)

¾ касательная и нормальная силы в относительном движении

и

¾ кориолисова сила, направленная по нормали к ЛТ к центру кривизны лопасти

Рис. 2.1. Силы, действующие на элемент жидкости в канале колеса

Силы инерции вместе с силами давления образуют уравновешенную систему. Проекции сил (для единицы массы) на оси естественной системы координат n и s:

(1)

(2)

Умножим уравнение (2) на :

Преобразуем полученное уравнение с учетом того, что и :

Для несжимаемой жидкости:

(3)

то есть величина полной удельной энергии сохраняет свое значение вдоль линии тока.

Продифференцировав (3) по нормали получим:

Подставляя в последнее уравнение и учитывая, что и (рис. 2.2), получим новое выражение для :

Рис. 2.2.

(5)

Приравняв правые части (1) и (5), получим:

(6)

Пусть радиус кривизны

что приблизительно верно для решеток большой густоты. Тогда

.

Сделаем преобразования уравнения и возьмем интеграл от обеих частей уравнения по нормали от средней линии канала до произвольной точки:

В результате получим:

или

Разложим в ряд Тейлора и отбросим члены разложения 2-го порядка малости

Тогда

(7)

Для передней стороны (стороны давления) лопасти:

(8)

Для задней стороны (стороны разрежения) лопасти:

(9)

Для анализа зависимости (7) запишем ее в виде:

(10)

где - скорость потока протекания (ω=0) или расходная скорость; - скорость потока вытеснения ()или вихревая составляющая скорости.

Движение жидкости в канале при средней скорости

называют движением от осевого вихря.

При ω=0 эпюра скоростей в канале колеса представлена на рис. 2.3.

Рис. 2.3. Распределение скоростей невязкого потока в канале РК при ω=0

Расходная скорость у передней стороны больше (не намного), чем у задней стороны лопасти

При эпюра вихревой составляющей скорости в канале колеса имеет вид, показанный на рис. 2.4 (, ).

Рис. 2.4. Распределение скоростей невязкого потока в канале РК при

Эпюра суммарной скорости в канале колеса имеет вид (после сложения ее компонентов), представленный на рис.2.5

Рис. 2.5. Возможные эпюры суммарной скорости

невязкого потока в канале колеса

Суммарная скорость у передней стороны лопасти может принимать и отрицательное значение (см. рис. 2.5.б) в зависимости от соотношения и . Это явление носит название потенциального отрыва. При течении вязкой жидкости за счет стеснения потока в канале пограничным слоем явление потенциального отрыва не наблюдается.

Говорят, что течение невязкой жидкости в канале происходит со скосом потока, так как

.

Если рассмотреть случай с прямыми лопастями (), то из уравнения (7) следует, что

(11)

Из уравнения (11) следует, что скос потока имеет место и для вращающегося РК с прямолинейной осью межлопастного канала, так как

.

В неподвижном канале РК с прямыми стенками

То есть результаты, полученные при продувке неподвижных колес, не могут быть использованы для суждения о характере потока во вращающихся каналах колеса.

На рис. 2.6 изображены примерные эпюры скоростей невязкого потока в канале колеса. Относительная скорость в канале наименьшая на передней стороне лопасти, наибольшая - на задней стороне.

Рис. 2.6. Распределение скоростей невязкого потока в канале колеса

С учетом изложенного выше, можно сказать, что условно поток в канале РК складывается из потока протекания и потока вытеснения (так называемая схема «осевого вихря»). В действительности осевой вихрь есть в закрытом сосуде, вращающемся вокруг оси (физика возникновения осевого вихря в закрытом сосуде изложена в книге Ломакина А.А.)

Рис. Потоки протекания и вытеснения в РК ЦН

В общем случае РК с пространственной лопастной системой вместо угловой скорости в уравнениях осевого вихря будет присутствовать ее проекция на ось , перпендикулярную поверхности тока, по которой происходит течение. Так в осерадиальных РК на входном участке (рис.) интенсивность осевого вихря будет равна нулю, так как угол

Рис.

Рассмотрим вопрос: за счет чего создается перепад давления между сторонами лопасти в межлопастном канале.

Запишем проекцию на ось y (поперечная координата в естественной системе координат – нормаль к линии тока) уравнений движения Навье –Стокса

,

где - приведенное давление движения (Прандтль), для внешнего потока (, , ):

. (*)

Из уравнения Бернулли следует, что

, ,

,

тогда уравнение (*) запишется в виде:

.

Коэффициенты Ляме - :

где - приращение вдоль криволинейной оси; - действительное приращение в конкретной точке:

;

.

Тогда

. (**)

Уравнение (**) при и запишется

,

знак «–» для РК с , знак «+» для РК с .

Это связано со знаком радиальной кривизны лопасти РК.

Для РК с кориолисова сила и центробежная сила направлены в разные стороны и уравнение равновесия запишется:

.

Для РК с кориолисова и центробежная силы складываются, так как направлены в одну сторону, и уравнение равновесия для этого случая:

.

Таким образом:

1. В невязком потоке выполняется условие равновесия поверхностных сил (сил давления) и массовых сил (кориолисовы ± центробежные).

2. Перепад давления между лопастями создается за счет инерционных сил: Кориолиса и центробежной за счет кривизны ЛТ .

Оценим ускорения от этих сил для РК ЦН с b_л2=20 ° (аэростенд):

,

,

.

Таким образом, перепад давления

создается лопастью РК ЦН в основном за счет корилисовых сил.

В меридианной плоскости РК из массовых сил будут действовать только инерционные центробежные силы (зависящие от кривизны ПД и ОД), которые уравновешивают поперечный градиент давления (силу от поперечного градиента давления) (здесь n – нормаль к ЛТ в меридианной плоскости). Для идеальной жидкости уравнение равновесия в направлении нормали: (см. вывод - Шерст-каф)

,

где R _ЛТ – радиус кривизны ЛТ, а член появляется в случае закрутки потока в межлопастных каналах РК (что обычно всегда имеет место).

Дата добавления: 2015-07-17