Составление системы уравнений по эквивалентной схеме при помощи метода контурных токов и метода узловых потенциалов

Полученная эквивалентная схема реального объекта является аналогом электрической цепи. Поэтому для расчета эквивалентных схем можно исполь­зовать методы электрических цепей. Наибольшее распространение для расчета электрических цепей находят два метода: метод контурных токов и метод уз­ловых потенциалов.

Метод контурных токов

При расчете этим методом полагают, что в каждом независимом контуре эквивалентной схемы течет свой контурный ток. Уравнения составляют отно­сительно этих контурных токов. Для составления уравнений этим способом производят следующую последовательность работ.

Выделяют независимые контуры в эквивалентной схеме. Контуры незави­симы, если в каждый из них входит хотя бы одна ветвь, не входящая в другие.

В каждом конгуре указывают направление контурного тока и его обозна­чение. Управление выбирается произвольно.

Для каждого контура пишут уравнение по второму закону Кирхгофа:

, .

Перед написанием уравнений выбирают направление обхода контуров. Для контура, имеющего ветвь с источником.переменной типа потока (I) и для ко­торого величина контурного тока известна, уравнение не пишут. В смежных ветвях ток равен сумме контурных токов с учетом их направления. Полу­ченная система уравнений является математической моделью объекта.

Для нашего примера получаем 24 дифференциальных уравнений:

Метод узловых потенциалов

При этом методе за неизвестные принимают потенциалы в узлах схемы. Один из узлов эквивалентной схемы выбирают за базовый и заземляют, то есть принимают его потенциал равным нулю. Это не изменяет токораспредедение в схеме. Далее для оставшихся узлов эквивалентной схемы записывают уравне­ние равновесий по первому закону Кирхгофа:

.

Получают систему уравнений относительно токов в ветвях эквивалентной схемы. Последовательность работ для описания эквивалентной схемы методом узловых потенциалов следующая.

В эквивалентной схеме выбирают базовый узел, потенциал которого при­нимают равным нулю.

В каждой ветви эквивалентной схемы выбирают направление тока и его обозначение. Направление тока определяют произвольно.

Для каждого узла эквивалентной схемы, кроме базового, пишут уравнение

равновесия по первому закону Кирхгофа. При этом токи, притекающие к узлу, берут со знаком минус, а токи, утекающие из узла, - со знаком плюс. В резуль­тате получают систему уравнений относительно токов в ветвях эквивалентной схемы.

Токи в ветвях выражаются через падение напряжения (разность потенциа­лов φ - φ_i в ветвях в параметры элементов, содержащихся на ветвях, т.е. через компонентные уравнения элементов системы. В результате этого получают систему дифференциальных уравнении относительно потенциалов в узлах эк­вивалентной схемы, которая является математической моделью объекта.

Составление топологических уравнений:

Составление компонентных уравнений:

Подставляя компонентные уравнения в систему топологических уравнений, получим систему из 13-ти дифференциальных уравнений относительно потенциалов в узлах эквивалентной схемы.

Построение графа системы по эквивалентной схеме.

Переходим от эквивалентной схемы к графу системы. При переходе необходимо для каждого узла эквивалентной схемы указать соответствующий узел (вершину) графа, а для каждой ветви эквивалентной схемы, связывающей определенные узлы, - одну ветвь (ребро) графа, связывающую соответствующие узлы графа.

Составление системы уравнений по графу системы

А)Обобщенный метод

Каждому ребру графа задаем направление и строим по ориентированному графу матрицу М (матрица контуров и сечений), которая отражает структуру системы на основе числовой информации.

М-матрица

Ветви дерева графа

Jp

Jшк2

Jшк3

Jзк4

Jзк7

Jзк8

Jзк10

Jзк13

Jзк14

Jзк17

Jзк18

Jзк20

Jшп

LД

-1

RД

-1

ILF1

-1

ELF1

-1

ILF2

-1

ELF2

-1

ILF3

-1

ELF3

-1

ILF4

-1

ELF4

-1

ILF5

-1

ELF5

-1

ILF6

-1

ELF6

-1

L1

-1

+1

L2

-1

+1

L3

-1

+1

L4

-1

+1

L5

-1

+1

L6

-1

+1

R1

-1

+1

R2

-1

+1

R3

-1

+1

R4

-1

+1

R5

-1

+1

R6

-1

+1

M

+1

По данным матрицы строим топологические уравнения системы, которые имеют вид

(1)

(2)

где Uв, Ux - векторы переменных типа разностей потенциалов на ветвях дерева и хордах;

Iв, Ix – векторы переменных типа потока для ветвей дерева и хорд;

Mt - транспонированная М-матрица.

Составляем 27 топологическое уравнение по уравнению (1):

По второму уравнению (2) необходимо составить еще 13 топологических уравнений:

Математической моделью системы является совокупность топологических и компонентных уравнений. Поэтому добавляем компонентные уравнения для каждого элемента системы:

Совокупность топологических и компонентных уравнений представляет собой математическую модель системы и характеризует динамику системы.

Б)Узловой метод

Узловой метод является наиболее распространенным методом формирования математических моделей, который базируется на использовании матрицы инциденций (А - матрицы). Последовательность действия при использовании узлового метода аналогична обобщенному методу. По графу системы строим матрицу А, на основе численной информации А - матрицы записываем топологические уравнения, в совокупности с компонентными уравнениями образуют математическую модель системы.

Номер узла

Ребра

Jp

Jd1

Jd2

J1

J2

J3

J4

J5

J6

J7

J8

J9

Jпатр.

Ребра

LД

RД

ILF1

ELF1

ILF2

ELF2

ILF3

ELF3

ILF4

ELF4

ILF5

ELF5

ILF6

ELF6

Ребра
L1	L2	L3	L4	L5	L6	R1	R2	R3	R4	R5	R6	М
-1						-1
	-1						-1
		-1						-1
			-1						-1
				-1						-1
											-1
					-1							-1

Топологические уравнения имеют вид

где матрица инциденций,

вектор переменных типа потока.

В компонентных уравнениях переменную U (напряжения) заменяем разностью потенциалов между узлами, которые соединяют данное ребро:

Дата добавления: 2015-07-15