Симметрия и законы сохранения.

Если состояние системы не изменяется при некоторых преобразованиях координат и времени, то говорят, что мы имеем дело с симметрией "зеркальная", "осевая".

поворот на 120°

Симметрия имеется и в живом мире. Тела многих существ симметричны относительно плоскости, разделяющий их пополам. С другой стороны, внутренние органы асимметричны.

С чем связана асимметрия внутренних органов? Ученые полагают, что многим живым существам потребовался длинный кишечник, чтобы более эффективно получать питательные вещества из пищи, при этом кишечник закручивается, что приводит к асимметрии внутренних органов. Тем не менее имеются живые существа, в том числе и люди, у которых внутренние органы расположены зеркально симметрично.

Вейль симметрия.

Рассмотрим систему из N материальных точек m₁,m₂,m₃…m_n;R₁,R₂…R_n.

Проведем следующие преобразования

преобразование Галилея

- сдвиг по пространству

- поворот (векторное произведение)

C_|_ б, A,B б, C=ABsinб, C_|_A, C_|_ B

- правая тройка

- тензор Левит-Чевитта

=1, =0, =0, =

Вектор ω направлен по направлению оси вращения

Кинетическая энергия равна:

Потенциальная энергия взаимодействия равна:

V_ij - энергия взаимодействия i-точки с j-точкой

H=T+V - полная механическая энергия системы материальных точек

Функция Лагранжа

L=T-V

Действие S (можно показать, что штриховое действие равно простому)

S - функционал

S'=S дS - вариация функционала =S'-S=0

Отсюда следует уравнения Лагранжа, которые эквивалентны уравнениям второго закона Ньютона и законам сохранения

t'=t+6

Закон сохранения полной механической энергии для материальных точек данной системы:

=const -однородность времени, инвариантность системы

(сдвиг по времени)

=const - закон сохранения импульса(сдвиг по пространству, однородность в пространстве)

Закон сохранения углового момента (импульса)

=const - изотропия пространства, инвариантность системы относительно поворота на некоторый угол в пространстве

=const - следствие из инвариантности относительно преобразований Галилея

Центр масс - это некоторая точка пространства, которая определяется следующим соотношением:

Дата добавления: 2015-07-15