Профиля на невращающемся роторе

Рассмотрим определение частот собственных изгибных колебаний одиночной турбинной ло-

патки со свободной вершиной и жестким креплением хвостовой части в роторе:

Выберем ось координат Х, совпадающую с упругой осью, и вторую, ортогональную к ней ось У, лежащую в плоскости колебаний лопатки. Начало координат совместим с корневым сечением лопатки.

A

x

y(x;y) A

x

l x y

x

y Z

При выводе дифференциального уравнения изгибных колебаний лопатки применяются сле-

дующие допущения:

- поперечные смещения при колебаниях лопатки малы по сравнению с ее длиной, тогда отклоне-ния точек упругой оси лопатки направлены перпендикулярно исходному положению оси;

- колебания происходят только в плоскости изгиба, перпендикулярной минимальной оси инер-

ции профиля х-х;

- отсутствуют силы сопротивления движению лопатки (т.е.отсутствует работа демпфирующих

сил, вследствие которых происходит необратимая потеря энергии колебаний лопатки путем

преобразования ее в теплоту);

- возмущающие силы отсутствуют;

- лопатка нагружена только силами инерции собственной массы.

Отклонения точек упругой оси лопатки будут зависеть от X и от t y=y(x;t). Принятые допущения позволяют воспользоваться известным дифференциальным уравнением упругой линии

для балки переменного сечения:

где: у – поперечное отклонение профиля лопатки на расстоянии Х от корневого сечения в момент

времени t;

Ј_хх(х) – минимальный момент инерции профиля на данном расстоянии Х от корневого сечения;

M_xx(x) – изгибающий момент, действующий на данный профиль.

Уравнение показывает,что этот изгибающий момент появляется в результате действия сил

упругого сопротивления материала лопатки при прогибе на величину У;

Распределение сил инерции, изменяющееся по высоте лопатки определяется как:

где: F(x) – переменная, в общем случае, площадь профиля лопатки;

ρ_{m - плотгность материала лопатки;}

_Тогда ρ_m F(x) – погонная масса лопатки (линейная плотность).

Для лопаток постоянного профиля: и

Теперь дифференциальное уравнение движения лопатки можно записать в виде:

;

Левая часть этого уравнения характеризует силы упругого сопротивления, а правая – силы инер-

ции, возникающие при колебаниях лопавтки.

или:

Такая форма уравнения движения лопатки показывает, что возмущающие силы отсутствуют.

Выделим влияние совокупности физических и геометрических параметров лопатки и обозна-

чим их а²: а² = EJ_xx/ ρ_m F;

Тогда:

Это уравнение определяет изменение прогиба У как во времени, так и по высоте лопатки т.е.

связывает колебания с их формой (характером изгиба при колебаниях упругой линии).

Решением данного уравнения являются гармонические функции:

у = Х(Acos ωt + Bsin ωt);

где: Х – величина, определяющая форму колебаний (т.е. форму упругой линии лопатки) и пред-

ставляющая собой функцию расстояния от корня лопатки до рассматриваемого сечения;

ω – круговая частота колебаний, т.е. количество колебаний за период 2π, т.е. ω = 2π f

f - количество колебаний в единицу времени;

A,B - произвольные постоянные, которые могут быть пределены для каждого частного случая

Обозначив A= D sinα и B cosα решение уравнения движения лопатки можно привести к виду у = DХ sin (ωt + α) где: DХ - амплитуда колебаний профиля в данном

сечении от корня лопатки; α – его фаза. Это решение называется главным колебанием, при кото-ром перемещение любой точки лопатки изменяется по гармоническому закону, а функция Х = Х(х) – определяющая форму упругой линии, называют главной формой колебаний, которая проявляется при каждой частоте главных колебаний и однозначно связана с ней.

Представим уравнение движения лопатки в форме, где текущее время t не фигурирует и

будет заменено частотой (после дифференцирования дважды по t и четырежды по х и подста-новки правых частей в уравнение движения лопатки)

обозначая ω²/а² = к⁴ = получаем уравнение

движения лопатки постоянного сечения

Данное уравнение имеет общий интеграл

где постоянные С_i определяются граничными условиями на концах лопатки т.е.на закрепленном и свободном концах. Заменяя значение координаты х на длину лопатки l_л и избавляясь от неизвест- ных коэффициентов С_i в процессе преобразования уравнений, удовлетворяющих различным

граничным условиям, получаем решение уравнения свободных колебаний в виде трансценден-

дентного уравнения или

Это уравнение имеет бесконечное множество корней кl_л каждому из которых соответствуют

вполне определенное значение частоты ω (которое называется собственной частотой колебаний) и форма колебаний упругой линии. Корни уравнения вычисляются приближенными методами или

определяются графически. Первые три из них имеют значения к₁l_л=1,875; к₂l_л=4,694; к₃l_л=7,855 и

соответствуют 1,2 и 3 тону колебаний незакрученной невращающейся лопатки постоянного про-филя со свободной вершиной. Используя значения корней вычисляем частоты собственных коле-

баний:

w k² E J_xx (kℓ_л)² E J_xx 4

f = ------ = ----- --------- = ------- -------;

2p 2p ρ_m F 2p ℓ_л² ρ_m F

Для первого (основного) тона колебаний k₁ℓ_л = 1,875 статическая частота собственных коле-баний составит:

(1,875)² E J_xx 0,56 E J_xx

fa_о= --------- -------- = ------- -------;

2p ℓ_л² ρ_m F ℓ_л² ρ_m F

Формы колебаний лопатки отличаются друг от друга количеством узлов, т.е. местами,где точки на упругой линии остаются неподвижными (см.рис.6). Для лопатки со свободной вершиной 1 узло

ая форма соответствует 1му тону, 2-х узловая 2 му тону, 3-х узловая – 3 му и т.д. Для лопатки с закрепленной вершиной 1-му тону соответствует 2-х узловая форма, 2-му – 3-х узловая и т.д. (см. рис. 16). Это есть следствие изменения граничных условий.

При расчёте частот собственных колебаний лопаток постоянного по высоте профиля значения

J_xx и F принимаются из чертежа, или по Атласу профилей. Для лопаток переменного сечения эти

величины могут быть определены по формулам:

J_xx = 0,2 J_п.х+ 0,8 J_к.х; ℓ = ℓ_л + 0,35 В_к; F = 0,8 F_п + 0,2 F_к;

где: ℓ - приведенная длина профильной части лопатки;

В_к - ширина лопатки у корня;

F_п и F_к - площади профилей у периферии и у корня;

J_п.х и J_к.х - соответствующие минимальные моменты инерции.

Соотношение первой и последующих частот собственных колебаний одиночной лопатки со

свободной вершиной определяется зависимостью:

(k₂ℓ_л)² (k₃ℓ_л)²

fa_о: fa₁: fa₂ = 1: --------: --------: … = 1: 6,26: 17,6: …;

(k₁ℓ_л)² (k₁ℓ_л)²

т.е., частоты собственных изгибных колебаний лопатки различных тонов имеют вполне опре-делённое соотношение. Поэтому частоту собственных колебаний любого тона можно выразить

через частоту колебаний первого (основного) тона лопатки со свободной вершиной. Для лопаток

постоянного профиля имеют место зависимости (см.обозн. рис. 16):

fa₁ = 6,26 fa_о; fa₂ = 17,6 fa_о;

fв_о = 4,39 fa_о; fв₁ = 3,24 fa_о = 14,3 fв_о; fв₂ = 6,76 fв_о = 29,7 fa_о;

где: fa_о и fв_о - частоты первого (основного) тона лопаток со свободной и шарнирно-опертой

вершинами. Частота fa_о соответствует одноузловой форме колебаний, а fв_о –

- двухузловой форме, причём двухузловые колебания fa₁ и fв_о имеют различные формы упру-гой линии и, следовательно, различные частоты, что видно из приведенных зависимостей.

Рассмотрим влияние геометрических и физических характеристик лопатки на частоты собст-

венных колебаний. Для геометрически подобных профилей справедливы зависимости:

J = α₁· b⁴ и F = α₂· b², где - b – хорда профиля; α₁ и α₂ - постоянные коэффициенты для

профиля данной формы. Тогда формулу для определения частоты собственных колебаний можно

записать в виде:

(k_iℓ_л)² E α₁

f = ------- · b · --------;

2p ℓ_л² ρ_m α₂

Отсюда: 1) увеличение лины лопатки приводит к резкому снижению частоты её собственных5

колебаний; 2) увеличение хорды при неизменном профиле увеличивает частоту собственных

колебаний в такое же число раз. При оценке влияния свойств материала нужно рассматривать не

отдельные значения Е и ρ_m, а отношение Е / ρ_m, которое для всех сплавов имеет примерно такое же значение, как и для стали (но, например, титановые сплавы имеют высокий предел усталост-

ной прочности).

2. СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПАКЕТОВ ЛОПАТОК ПОСТОЯННОГО ПРОФИЛЯ

НА НЕВРАЩАЮЩЕМСЯ РОТОРЕ

Довольно часто рабочие лопатки турбин скрепляются бандажными и проволочными связями.

Основное назначение связей - повышение вибрационной надёжности. Бандаж позволяет также

образовать периферийную стенку канала (сформировать канал рабочих лопаток), сконструировать

уплотнения радиального и осевого зазора в периферийной части ступени.

Бандаж повышает вибрационную надёжность за счёт ограничения перемещений конца лопатки и делает частоты свободных колебаний и формы колебаний отдельных лопаток в ступени взаимо-

связанными. Это нарушает синфазность воздействия возмущающих сил на каждую лопатку, что препятствует развитию резонансных колебаний как отдельных лопаток, так и их пакетов.

Пакеты могут содержать от двух до двадцати лопаток и более. Количество лопаток в пакете

обусловлено обеспечением максимальной вибрационной надёжности. Все формы колебаний

лопаток, перевязанных бандажём. Разделяются на два типа: А и В (см. рис. 9 и 10). Видно, что

при колебаниях типа А все лопатки колеблются в одной фазе и имеют одинаковые формы упругих линий. При колебаниях типа В фазы и формы колебаний внутри пакета различны. Этот тип коле-

баний называют внутрипакетными. Каждый тип колебаний имеет бесконечное множество форм,

отличающихся количеством узлов. Так, первый тон колебаний обозначается Ао, второй А₁ и т.д.

При колебаниях типа В формы колебаний многообразнее, т.к. различаются вариантами сочетаний

форм упругих линий отдельных лопаток. Так, каждому из колебаний типа Во; В₁ и т.д. соответст-

вует m – 1 форм колебаний, где: m - число лопаток в пакете.

Собственные колебания пакетов лопаток с увеличением частоты проявляются следующим

образом: амплитуда колебаний тона Ао быстро уменьшается и увеличивается вновь при колеба- ниях типа Во, далее проявляются колебания тона А₁, затем В₁, т.е. имеетместо чередование

колебаний типов А и В. Бандажная связь повышает частоту собственных колебаний пакета в

целом и отдельной лопатки в пакете, по сравнению с частотой одиночной лопатки, но масса бандажа понижает их. Поэтому, для колебаний пакета типа А частоты тонов Ао, А₁ близки к соот-ветствующим частотам собственных колебаний одиночной лопатки со свободной вершиной: т.е.

f_Ао ≈ fа_о; f_А1 ≈ fа₁. Тоже справедливо и для колебаний типа В, но частота тона Во близка

к частоте колебаний одиночной лопатки с шарнирно-опертой вершиной f_Во ≈ fв_о. Опасными

считаются лишь три тона колебаний пакетов: А_о, В_о и А₁. Колебания более высоких тонов име-

ют малые амплитуды и не приводят к поломкам. Частоты собственных колебаний пакетов различ-ных тонов, как и для одиночной лопатки, могут быть выражены через частоту собственных коле- баний первого (основного) тона лопатки со свободгой вершиной fа_о:

f_Ао ≈ fа_о; f_Во ≈ (4,4 ÷ 4,9) fа_о; f_Ао ≈ (5,0 ÷ 7,2) fа_о.

Для повышения вибрационной надёжности относительно длинных лопаток применяются про-

волочные связи, проходящие сквозь отверстия в профильных частях лопаток. При этом, если про-волока свободно проходит сквозь отверстия во всех лопатках венца (не припаивается к лопаткам),

то она совмещает функции пакетной связи и демпфера, вследстве наличия сил трения. Для сни-

жения концентрации напряжений отверстия выполняются в утолщениях профильной части лопа-ток; также при этом увеличивается поверхность трения и проявляется эффект кривизны проволо-ки. Следует учитывать и положительное действие центробежных сил, прижимающих проволоку

к поверхности трения. Применение проволочных связей в средней части лопаток делает невоз-

можными колебания тона Во,а частота колебаний тона Ао увеличивается.

3. ВЛИЯНИЕ ЧАСТОТЫ ВРАЩЕНИЯ РОТОРА

Собственная частота колебаний лопаток на вращающемся роторе оказывается больше, чем на

вращающемся. Это связано с тем, что при отклонении упругой оси лопатки от положения равнове-

сия, появляется составляющая центробежной силы, стремящаяся вернуть лопатку в нейтральное

положение. Таким образом, как бы увеличивается сила упругого сопротивления (жёсткость) ло-

патки в направлении прогиба, что повышает частоту её собственных колебаний. Схема разложе-ния центробежных сил инерции выглядит следующим образом:

ρ Fω² (r_k+х)dх

ρ Fω²у dх

х

r_k

+

Частоту собственных колебаний лопатки, расположенной на неподвижном диске обычно назы-вают статической f_ст, а на вращающемся - динамической f_дин. Между этими частотами суще- ствует соотношение:

f_дин = (f_ст)² + В n²

где: n - частота вращения ротора, 1/с;

В - поправка,определяемая по экспериментальным формулам;

D_cp D_cp

В = 0,8 ----- - 0,85 - для лопаток постоянного профиля; В = 0,72 ----- - 1,0 - для лопаток пере-

ℓ_л ℓ_л

менного профиля; D_cp - средний диаметр рабочего венца.

4. ВОЗМУЩАЮЩИЕ СИЛЫ В СТУПЕНИ ТУРБОМАШИНЫ

Дата добавления: 2015-07-15