Колебательной системы с одной степенью свободы

Изучение свободных и вынужденных колебаний

Цель работы: исследовать свободные и вынужденные колебания гармонического осциллятора.

Приборы и принадлежности: автоматизированная экспериментальная установка по исследованию колебаний пружинного маятника.

Исследование колебаний маятника проводится на установке, схема которой приведена на рисунке 1. Установка состоит из пружинного маятника, системы регистрации колебаний на основе пьезоэлектрического датчика, системы возбуждения вынужденных колебаний, а также системы обработки информации на персональном компьютере (ПК). Исследуемый пружинный маятник состоит из стальной пружины с коэффициентом жесткости и закрепленного на ней груза массой , в центре которого вмонтирован постоянный магнит.

Для регистрации колебаний используется пьезоэлектрический датчик, к которому подвешена пружина маятника. Во время движения маятника сила упругости пропорциональна смещению .

Рис.1. Блок – схема экспериментальной установки

Так как ЭДС, возникающая в пьезодатчике в свою очередь пропорциональна силе давления, то сигнал, получаемый с датчика, будет пропорционален смещению груза от положения равновесия.

Возбуждение колебаний осуществляется с помощью магнитного поля, создаваемого электромагнитом. Гармонический сигнал, создаваемый персональным компьютером (ПК), усиливается и подается на катушку возбуждения, расположенную под грузом. В результате этого вокруг катушки образуется переменное во времени и неоднородное в пространстве магнитное поле. Это поле действует на постоянный магнит, вмонтированный в груз, и создает внешнюю периодическую силу.

Движение маятника происходит в жидкости, и при небольших скоростях колебаний возникающая сила трения может быть с достаточной точностью аппроксимирована линейным законом, т.е.

(1)

где r - коэффициент вязкого трения, V - скорость движения тела.

Если на вертикальный пружинный маятник действует только сила вязкого трения и сила тяжести, то динамическое уравнение его движения имеет вид:

(2)

или

(3)

где

(4)

- коэффициент затухания,

(5)

- собственная циклическая частота колебаний маятника.

Решением дифференциального уравнения (3) является кинематическое уравнение затухающих гармонических колебаний:

(6)

где А₀ – амплитуда колебаний в начальный момент времени, w - циклическая частота затухающих колебаний, равная

(7)

Согласно (6) степень убывания амплитуды А затухающих колебаний

(8)

определяется коэффициентом затухания d. Так как d обратно пропорционален массе тела совершающего колебания (4), то одним из способов уменьшения коэффициента затухания является увеличение массы колеблющегося тела.

Согласно (8) за время колебаний t = t, где

(9)

амплитуда колебаний уменьшится в e раз. Это время называется временем релаксации колебаний.

Энергетической характеристикой затухающих колебаний является физическая величина, получившая название добротности Q. Добротность колебательной системы прямо пропорциональна отношению энергии E системы в некоторый момент времени к убыли этой энергии – ΔE за один период колебаний после рассматриваемого момента времени:

(10)

Добротность колебательной системы зависит от коэффициента затухания d и частоты ее колебаний

(11)

Исходя из выражений (10) и (11) относительное уменьшение механической энергии за один период колебаний можно представить как

(12)

При воздействии на колебательную систему вынуждающей силы, изменяющейся по гармоническому закону, динамическое уравнение движения маятника примет вид:

(13)

или

(14)

где - амплитудное значение вынуждающей силы, действующей на единичную массу, w_в – циклическая частота вынуждающей силы.

При установившихся вынужденных колебаниях частота колебаний маятника будет равна частоте изменения вынуждающей силы w_в, а кинематическое уравнение его движения иметь вид:

(15)

где j_в - характеризует отставание фазы колебаний маятника от фазы колебаний вынуждающей силы.

Входящая в уравнение (15) амплитуда вынужденных колебаний маятника равна:

(16)

Согласно (16) амплитуда колебаний маятника зависит от их частоты w_в (рис.8). При минимальном значении подкоренного выражения функция (16) имеет экстремум. Дифференцируя подкоренное выражение по w_в и приравнивая его к нулю, определяем частоту w_рез

, (17)

при которой амплитуда вынужденных колебаний примет максимальное значение А_рез

(18)

Отставание фазы колебаний маятника от фазы колебаний вынуждающей силы так же, как и амплитуда вынужденных колебаний, зависит от собственной частоты колебательной системы, частоты ее вынужденных колебаний и коэффициента затухания

(19)

С ростом частоты w_в вынужденных колебаний в области резонансной частоты колебательной системы j_в резко возрастает (рис. 9).

Управление экспериментальной установкой с помощью ПК.

Система управления экспериментом и обработки получаемых данных состоит из аналого-цифрового преобразователя (АЦП) и персонального компьютера. Аналоговый сигнал с пьезоэлектрического датчика с помощью аналого-цифрового преобразователя представляется в цифровом виде и подается на ПК.

После включения компьютера и загрузки программы на экране монитора появляется меню, общий вид которого показан на рис.2. Используя клавиши управления курсором , , , , можно выбрать один из пунктов меню. После нажатия кнопки ENTER компьютер приступает к выполнению выбранного режима работы. Простейшие подсказки по выбранному режиму работы содержатся в выделенной строке внизу экрана.

Режимы работы программы:

Статика — этот пункт меню используется для обработки результатов эксперимента по определению статическим методом коэффициента жесткости пружины и частоты свободных колебаний маятника (рис.2). После нажатия на кнопку ENTER на экране появляется новая картинка с мигающим курсором. Последовательно записывают на экране массу груза в граммах, и после нажатия пробела, величину растяжения пружины. Нажав на ENTER, переходят на новую строку и снова записывают массу груза и величину растяжения пружины. Допускается редактирование данных в пределах последней строки. Для этого, нажав клавишу BackSpase удаляют неправильное значение массы или растяжения пружины и записывают новое значение.

Рис.2. Вид меню для управления экспериментальной установкой на экране компьютера.

Для изменения данных в других строках необходимо последовательно нажать Esc и ENTER, а затем повторить набор результатов.

После набора данных нажимают на функциональную клавишу F2. На экране появляются рассчитанные с помощью метода наименьших квадратов значения коэффициента жесткости пружины и частоты свободных колебаний маятника. После нажатия ENTER на экране появляется график зависимости упругой силы от величины растяжения пружины. Возврат в основное меню происходит после нажатия любой клавиши.

Эксперимент — этот пункт имеет несколько подпунктов (рис.3). Рассмотрим особенности работы каждого из них. Частота — в этом режиме с помощью клавиш управления курсором осуществляется задание частоты вынуждающей силы. Уменьшение частоты генератора осуществляется стрелками «вниз» (с шагом 0,5 Гц) и «влево» (с шагом 0,05 Гц), а увеличение частоты - стрелками «вверх» (с шагом 0,5 Гц) и «вправо» (с шагом 0,05 Гц). В том случае, если проводится эксперимент со свободными колебаниями, то необходимо установить значение частоты равное 0.

Старт — в этом режиме после нажатия кнопки ENTER программа начинает снимать экспериментальную зависимость отклонения маятника от времени. В том случае, когда частота вынуждающей силы неравна нулю, то наряду с графиками зависимостей отклонения маятника и вынуждающей силы от времени на экране в отдельных окошках записываются значения частоты вынуждающей силы и ее амплитуды, а также измеренных частоты и амплитуды колебаний маятника. Нажав на клавишу Esc можно выйти в основное меню.

Рис. 3. Вид меню для проведения эксперимента

Сохранить — если результат эксперимента удовлетворителен, то его можно сохранить, нажав на соответствующую клавишу меню.

Нов. Серия — этот пункт меню используется в том случае, если возникла необходимость отказаться от данных текущего эксперимента. После нажатия клавиши ENTER в этом режиме из памяти машины стираются результаты всех предыдущих экспериментов, и можно начать новую серию измерений.

После проведения эксперимента переходят в режим Информация. Этот пункт меню имеет несколько подпунктов (рис. 4).

Рис. 4. Вид меню в режиме работы установки «Измерение»

График АЧХ — этот пункт меню используется после окончания эксперимента по изучению вынужденных колебаний. На экране монитора строится амплитудно-частотная характеристика вынужденных колебаний.

График ФЧХ — В этом режиме после окончания эксперимента по изучению вынужденных колебаний на экране монитора строится фазо-частотная характеристика.

Таблица —этот пункт меню позволяет выдать на экран монитора значения амплитуды и фазы колебаний в зависимости от частоты вынуждающей силы. Эти данные переписываются в тетрадь для отчета по данной работе.

Пункт меню компьютера Выход — окончание работы программы (рис. 4).

Задание 1. Ответить на вопросы.

1. Какие колебания называются затухающими колебаниями, вынужденными колебаниями?

2. Запишите динамические и кинематические уравнения затухающих и вынужденных колебаний.

3. Дайте определения следующих понятий: время релаксации колебаний, логарифмический декремент затухания, добротность колебательной системы.

4. Что такое резонанс?

5. От каких параметров зависят резонансная амплитуда и резонансная частота колебаний?

Дата добавления: 2015-07-15