Задачи обязательного уровня

Параллельность плоскостей.

1. Через концы отрезка АВ и его середину М проведены параллельные прямые, пересекающие некоторую плоскость в точках А , В ,М .Найдите длину отрезка ММ , если отрезок АВ не пересекает плоскость и если АА = 5м., ВВ = 7м.

2. Решите предыдущую задачу при условии, что отрезок АВ пересекает плоскость.

3. Через конец А отрезка АВ проведена плоскость, через конец В и точку С этого отрезка проведены параллельные прямые, пересекающиеся плоскость в точках В и С . Найдите длину отрезка ВВ , если СС = 15 см., АС: ВС = 2:3.

Параллельность прямой и плоскости.

1. Точка В лежит в плоскости , отрезок СД параллелен этой плоскости, СД = 12 см., АВ: СВ = 4:3 (рис.3). Докажите, что прямая АД пересекает плоскость в некоторой точке Е, и найдите отрезок ВЕ.

А Рис.3

Д В

2. Даны две скрещивающиеся прямые. Как провести через них две параллельные плоскости?

3. Через данную точку пространства проведите прямую, пересекающую каждую из двух скрещивающихся прямых.

Параллельность плоскостей.

1. Даны точки А, В, С и Д не лежащие в одной плоскости. Докажите, что любая плоскость, параллельная прямым АВ и СД, пересекает прямые АС, АД, ВД и ВС в вершинах параллелограмма.

2. Через середину трех ребер прямоугольного параллелепипеда АВСДА В С Д ,исходящих из вершины Д , проведена плоскость . Докажите, что ∥ АВД. Найдите периметр сечения, если диагонали трех правильных граней имеют длины 26, 28 и 30 см.

3. В кубе АВСДА В С Д проведена плоскость , параллельная плоскости АВ Д . Постройте сечение и найдите его площадь, если АВ = 12 см., плоскость проходит через середину отрезка А В .

4. В прямоугольном параллелепипеде АВСДА В С Д через середину АА и АД, и точку к = ВС В С проведена плоскость . Постройте сечение и найдите его площадь, если АД = 12 см., АА = 16 см., АВ = 6 см.

Творческие задачи.

1. АВ С – сечение правильной треугольной призмы АВСА В С через отрезок, соединяющий середину ребер АА и В С проведите сечение, параллельное стороне АС. Докажите, что это сечение параллельно сечению АВ С, а также определит боковое ребро и сторону основания призмы, если периметры сечений – 19 и 26 см.

2. АВ С – сечение правильной четырехугольной призмы АВСДА В С Д . Через отрезок, соединяющий середины ребер АА и В С проведите сечение, параллельное стороне АС. Докажите, что это сечение параллельно сечению АВ С.

3. В правильной треугольной пирамиде SABC через вершину С и середину ребра SA проведите сечение пирамиды, параллельное SB. На ребре АВ взята точка F так, что AF:FB = 3:1. Через точку F и середину ребра SC проведена прямая. Будет ли эта прямая параллельна плоскости сечения?

4. В правильной прямоугольной пирамиде SABC через отрезки АД и СЕ, где Д – середина SB, а Е – середина SA, проведите сечения пирамиды, параллельные между собой, и найдите отношение их площадей.

5. АВ С – сечение прямоугольного параллелепипеда АВСДА В С Д .Через точки Е, F, К, которые являются соответственно серединами ребер ДД , А Д , Д С , проведено второе сечение. Докажите, что треуглольники ЕFК и АВ С подобны, и установите, какие углы в этих треугольниках равны между собой.

6. В правильной треугольной призме АВСА В С через диагональ АС и перпендикуляр ВД к стороне АС проведите сечения, параллельные между собой. Определите периметр треугольников, полученных в сечениях, если их стороны лежащие против равных углов, равны 5 и 5 см.

7. В правильной треугольной призме АВСА В С через отрезки СД и А Е, где Д – середина АА , а Е – середина АВ, проведите сечение призмы, параллельные между собой. Определите расстояние между вершинами равных углов этих сечений, если сторона основания призмы , а боковое ребро b.

8. Даны две параллельные плоскости и , Катет АС прямоугольного треугольника АВС ( С = 90º) лежит в плоскости , а вершина В – в плоскости . Через вершину С и точку Д делящую АВ в отношении 5:2 (от А к В), проведена прямая, пересекающая плоскость в точке F. Определите CF, если АВ = 12 см, ВС = 8 см.

9. Из точки А в плоскости проведены к параллельной ей плоскости отрезки АВ = 11 см., АС = 12 см. Через точку С проведена прямая, параллельна АВ и пересекающая плоскость в точке Д. Определите расстояние между точками В и Д, если расстояние между точками А и Д = 7 см.

10. Дан прямоугольный параллелепипед АВСДА В С Д , у которого АВ = 30 см., АД = 24см. В параллелепипеде проведен отрезок ЕF, где Е – середина АД, а F – середина А В и на отрезке ЕF взята точка М так. Что ЕМ:МF = 3:56. Через вершину А и точку М проведена прямая, пересекающая плоскость основания А В С Д В точке К. Определите расстояние В К.

Дата добавления: 2015-07-15