Дифференциальное уравнение теплопроводности.

Это уравнение называется дифференциальным уравнением теплопроводности или уравнением Фурье и лежит в основе математической теории теплопроводности. Коэффициент темп-ти a является физическим параметром вещества. Из уравнения следует, что изменение температуры во времени для любой точки тела пропорционально величине a.

Так как дифференциальное уравнение теплопроводности выведено на основе общих законов физики, то оно описывает явление теплопроводности в самом общем виде. Поэтому можно сказать, что полученное дифференциальное уравнение описывает целый класс явлений теплопроводности. Чтобы из бесчисленного количества выделить конкретно рассматриваемый процесс и дать его полное математическое описание, к дифференциальному уравнению необходимо присоединить математическое описание всех частных особенностей рассматриваемого процесса. Эти частные особенности, которые совместно с дифференциальным уравнением дают полное математическое описание конкретного процесса теплопроводности, называются условиями однозначности или краевыми условиями. Условия однозначности включают в себя:
◊ геометрические условия, характеризующие форму и размеры тела, в которых протекает процесс;
◊ физические условия, характеризующие физические свойства среды и тела;
◊ временные (начальные) условия, характеризующие распределение температур в изучаемом теле в начальный момент времени;
◊ граничные условия, характеризующие взаимодействие рассматриваемого тела с окружающей средой.

23) Теплопроводность через плоскую стенку при граничных условиях первого рода.(можно скатать еще начало 24 билета,про 3 вида)

Рис.Однородная плоская стенка

Рассмотрим однородную плоскую стенку толщиной δ. На наружных поверхностях стенки поддерживаются постоянные температуры t_с1 и t_с2. Коэффициент теплопроводности стенки постоянен и равен λ. При стационарном режиме () и отсутствии внутренних источников теплоты (q_v =0) дифференциальное уравнение теплопроводности примет вид:

.

При заданных условиях температура будет изменяться только в направлении, перпендикулярном плоскости стенки (ось Оx). В этом случае

,

и дифференциальное уравнение теплопроводности перепишется в виде:

.

Для определения плотности теплового потока, проходящего через стенку в направлении оси Оx, воспользуемся законом Фурье, согласно которому .

Учитывая, что , получим

.

Общее количество теплоты, которое передается через поверхность стенки F за время τ,

.

Отношение называют тепловой проводимостью стенки, обратную ей величину - термическим сопротивлением теплопроводности. Поскольку величина λ зависит от температуры, в уравнения необходимо подставить коэффициент теплопроводности λ_с, взятый при средней температуре стенки.

Дата добавления: 2015-07-15