Формула Марковича

Одним из ярких примеров необходимости и применимости вероятностных характеристик небаланса мощности в ЭЭС является задача об оптимальном резерве мощности в концентрированной энергосистеме.

Увеличение резерва приводит к повышению надежности электроснабжения потребителя, но это связано с дополнительными капиталовложениями. В качестве критерия оптимальности в экономических расчетах, как правило, принимается минимум приведенных затрат. Если составляющие затрат имеют вероятностный характер, то данный критерий преобразуется в минимум математического ожидания (МО) приведенных затрат.

От величины располагаемого резерва мощности зависит вероятностный ущерб от недоотпуска электрической энергии
где – удельный ущерб от недоотпуска электроэнергии; – МО дефицита мощности. В общем случае имеет более сложный функциональный характер, который, безусловно, учитывается в программных реализациях.

Отсюда задача об оптимальном резерве мощности имеет вероятностный характер и заключается в отыскании такого резерва R, который минимизирует МО приведенных затрат,

.

В упрощенной постановке можно принять линейную модель капиталовложений и ежегодных издержек ,

.

Реальный годовой график максимальной нагрузки можно представить максимальной нагрузкой и числом часов использования максимума . В свою очередь, обладает неопределенностью и может рассматриваться как случайная величина с МО и дисперсией . В этом случае

Электропотребление можно представить не только через, например, суточную максимальную мощность, но и через текущую мощность с заданным мат. ожиданием и дисперсией ( и – это две разные случайные величины. Как правило, . В этом случае длительность расчетного периода равна 8760 ч.

Дефицит мощности имеет место, если мощность нагрузки превышает установленную, с учетом вновь вводимого резерва мощности – располагаемую мощность .

Рассмотрим новую случайную величину N = (сдвиг по оси мощности на величину ). Она, как и , описывается нормальным распределением с МО и дисперсией

В этом случае мат. ожидание дефицита мощности

(5.3)

где – дополнительная функция распределения.

Интеграл

можно представить в ином виде, используя разложение интеграла «по частям», принимая

Отсюда

Подставляя полученное выражение в (5.3), получаем

т.е. МО дефицита определяется площадью под кривой дополнительной функции распределения (рис. 1.1). В результате

.

Оптимальный резерв мощности определяется из условия равенства нулю производной по R от функции приведенных затрат

J(x)

x

Р_уст+R

J_опт

Рис. 5.1 Оптимальный резерв мощности  

Отсюда оптимальный резерв мощности должен быть таким, чтобы вероятность дефицита мощности удовлетворяла условию

т.е. оптимальная вероятность дефицита мощности пропорциональна удельным капиталовложениям и обратно пропорциональна удельному ущербу. Данное соотношение носит название критерия Марковича []. Нетрудно видеть, что для определения численной величины оптимального резерва мощности необходимо знать параметры (МО и дисперсию) функции распределения максимальной мощности

Пример 1.1. Пусть C_R =200 $/кВт; у₀=1$/кВт·ч; Т_max =6000ч; отчисления на амортизацию и обслуживание р_ао =9%.

При оптимальном резерве вероятность дефицита мощности =0,007 (в течение года допускается 0,007∙8760=61 час состояния дефицита мощности). При заданных условиях оптимальный индекс надежности (вероятность бездефицитной работы) =0,993, т.е. оптимальный резерв мощности должен быть таким, чтобы обеспечить индекс надежности =0,993.

Пусть при Р _р=1100 МВт МО нагрузки μ_нmax=1000 МВт, σ_нmax=100 МВт. При оптимальной вероятности отсутствия дефицита мощности (индекс надежности)
= 146 МВт.

ДЗ:

1. Рассмотреть оптимизационную задачу (в Excel-е использовать процедуру «Поиск решения»):
По критерию минимальных приведенных затрат определить оптимальный дополнительный резерв R_опт мощности. Приведенные затраты

где – нормативный коэффициент эффективности; – отчисления на амортизацию и обслуживание; – удельные капиталовложения в резервную мощность; у₀=1$/кВтч – удельный ущерб от недоотпуска электроэнергии потребителям; – зависящее от МО дефицита мощности.

2. Графически изобразить зависимость З(R).

3. Рассмотреть объединенную систему «нагрузка + генерация» и нормально распределенную случайную величину – небаланс мощности с математическим ожиданием = и дисперсией . Определить вероятность и МО дефицита мощности (). Сравнить результаты с ранее полученными при биноминальном распределении отключенных генераторах.

4. Получить аналитическое представление вероятности и МО дефицита мощности при детерминированной нагрузке.

Дата добавления: 2015-07-15