Теоретические сведения

В работе изучается явление температурной зависимости электросопротивления твердых тел.

Величина сопротивления R для образца, имеющего форму цилиндра длинной L и площадью поперечного сечения S, определятся по формуле:

, (1)

где r - удельное сопротивление, которое зависит от материала и температуры образца.

Температурный коэффициент сопротивления α характеризует относительное изменение сопротивления материала при изменении его температуры
на 1 К и определяется по формуле:

(2)

Электросопротивление – свойство, обратное электропроводимости, то есть способности материалов проводить электрический ток. Электропроводимость металлов и полупроводников обусловлена наличием электронов, способных двигаться под действием электрического поля. Это так называемые свободные электроны.

Согласно гипотезе свободных электронов, удельное сопротивление твердого тела определяется:

, (3)

где m - масса электрона; e - заряд электрона; n - концентрация свободных электронов; U_T - средняя скорость теплового движения; l - средняя длина свободного пробега электронов;

Металлы и полупроводники имеют разную зависимость сопротивления от температуры, что связано с различием физических процессов, протекающих в этих материалах при нагревании.

Сущность происходящих процессов объясняется квантовой теорией твердых тел.

МЕТАЛЛЫ: В твердых телах свободные электроны распределены по энергическим уровням в соответствии с принципом Паули, т.е. не более 2-х электронов на одном уровне. Твердые тела, у которых самая верхняя энергетическая зона заполнена частично, являются металлами. В них даже при температуре 0 К электроны на верхних энергетических уровнях обладают очень большой энергией – энергией Ферми, которая эквивалентна температуре порядка 10⁵ К. Следует, что, нагревая образец до 300-400 К, мы пренебрежимо мало меняем энергию свободных электронов. Это означает. Что средняя тепловая скорость электронов в металлах не зависит от температуры. Такое состояние совокупности свободных электронов называется вырожденным Ферми-газом. Концентрация электронов в металлах не зависит от температуры. Таким образом, температурная зависимость удельного сопротивления в металлах будет связана только со средней длиной свободного пробега.

Квантовая теория рассматривает электрон как частицу, обладающую волновыми свойствами, а движение электронов проводимости как процесс распространения электронных волн, длина которых определяется формулой де Бройля. Изменение интенсивности потока электронных волн происходит за счет рассеивания их на неоднородностях кристаллической решетки.

Из теории волновых процессов известно, что рассеивание волн происходит на препятствиях, имеющих размеры не менее длинны волны. Электроны проводимости в металле имеют длину волны, на несколько порядков превышающую постоянную решетки. Следовательно, совершенно правильная кристаллическая решетка с неподвижными частицами в узлах не должна рассеивать электронные волны, т.е. сопротивление прохождению электрического тока должно быть равно нулю.

Однако вследствие тепловых колебаний узлов решетки, твердое тело в каждый момент времени является микроскопически неоднородным.

Сгущения и разряжения узлов решетки в микро объемах кристалла по своей протяженности превосходят длину электронной волны и поэтому являются эффективными центрами рассеяния. Кроме этого, центрами рассеяния могут быть дефекты кристаллической структуры, дислокации и примеси.

Рассматривая только тепловое движение узлов решетки, можно выразить длину свободного пробега электрона (расстояние между центрами рассеяния) через упругие константы кристалла:

, (4)

где Е – модуль упругости, a – параметр решетки, π – концентрация узлов решетки, k - постоянная Больцмана

Подставка l в формулу (3) приводит к следующему выражению для удельного сопротивления металлов:

, (5)

где В – коэффициент, не зависящий от температуры Т.

Таким образом, для металлов удельное сопротивление должно линейно зависеть от температуры. Эта зависимость хорошо подтверждается экспериментально в диапазоне комнатных температур. Для величины сопротивления металла, согласно формуле (1), можно записать:

R = B× T, (6)

где В – константа.

Температурный коэффициент сопротивления a для металла не зависит от температуры, поскольку производная dR/dT постоянна.

Для вычисления a_мет по формуле (2) надо задать значение нормировочного сопротивления R.

Принято брать это значение при температуре Т = 273 К (t_o = 0 ^oС) и обозначать R_o.

Для металла в формуле (2) можно от дифференциалов перейти к конечным приращениям сопротивления ∆R = R_t - R_o и температуры ∆T = T - T_o = t ^oC

Тогда формула для расчета температурного коэффициента примет вид:

. (7)

Откуда R_t = R_o(1+ a× t^o), (8)

где R_o - сопротивление металла при 0 ^oС.

Измеряя зависимость сопротивления металла R от температуры t^o, мы получаем линейную зависимость (рис.1).

Тангенс угла наклона tgw этой прямой к оси абсцисс дает значение производной

Экстраполяция этой зависимости до пересечения с осью ординат при температуре, равной 0 ^oС, дает величину сопротивления R_o.

Расчет по графически усредненным значениям:

.

СОБСТВЕННЫЕ ПОЛУПРОВОДНИКИ: Температурная зависимость удельного сопротивления у полупроводников существенно иная, чем у металлов. Во-первых, удельное сопротивление полупроводника значительно понижается с ростом температуры и во вторых, эта зависимость имеет нелинейный характер. Для объяснения такого поведения удельного сопротивления полупроводников следует допустить влияние температуры не только на длину свободного пробега l, но и на концентрацию носителей заряда n и на их среднюю тепловую скорость U_т.

Как известно из зонной теории твердых тел, у полупроводников при температуре Т = 0 К нет свободных носителей заряда, поскольку все энергетические уровни в валентной зоне заняты электронами. Опишем возникновение проводимости у полупроводников, не имеющих примесей (собственных полупроводников). При повышении температуры за счет теплового движения узлов решетки часть электронов в валентной зоне могут получать добавочную энергию и перейти на свободные уровни в зону проводимости. Минимальная добавочная энергия для такого перехода называется энергией активации ∆Е. Концентрация свободных носителей заряда при температуре Т = 0 К дается формулой:

, (9)

где b - постоянный множитель, ∆E - энергия активации.

Цифра «2» в знаменателе экспоненты означает, что при переходе электрона в зону проводимости в валентной зоне появляется дырка, т.е. возникают сразу два свободных носителя заряда.

При комнатных температурах концентрация свободных носителей в полупроводниках значительно меньше, чем в металлах (10¹⁷/10¹⁸ в 1 см³ у полупроводников и 10²² в 1 см³ у металлов). Вследствие этого электронный газ в полупроводнике не является вырожденным, и его поведение подчиняется классической статистике Максвелла-Больцмана. Из этой статистики следует, что средняя скорость теплового движения U_T определяется по формуле:

.(10)

Температурная зависимость длины свободного пробега l для носителей заряда собственных полупроводников описывается также как и у полупроводников, формулой (4).

Подставляя формулу (4), (9), (10) в (3), для удельного сопротивления собственных полупроводников получим:

, (11)

где С^* – постоянный множитель.

Из формулы (11) следует, что удельное сопротивление собственного полупроводника с ростом температуры будет уменьшаться по экспоненте. Для сопротивления, согласно (1), может записать:

, (12)

где С^* – константа.

Для полупроводников температурный коэффициент сопротивления будет зависеть от температуры, поскольку производная dR/dT не будет константой. Принимая значение нормированного сопротивления при той же температуре, что и значение производной, для температурного коэффициента полупроводников получим по формуле (2):

. (13)

Знак (–) указывает на убывание сопротивления полупроводника с увеличением температуры. Подставив температурную зависимость сопротивления полупроводника в полулогарифмических координатах, мы сведем ее к линейной, если по оси абсцисс откладывать величину обратной температуры (1/Т) (рис. 2).

Действительно, логарифмируя формулу (2), получим

. (14)

Значение тангенса угла наклона этой прямой к оси абсцисс дает информацию для вычисления температурного коэффициента сопротивления a и энергии активизации ∆E

.

Выполнение работы

Лабораторная установка состоит из цифрового вольтметра, работающего в режиме измерения сопротивления, сосуда с водой, в котором находятся две пробирки и термометр, а также электронагревательного прибора и схемы коммутации. В пробирки помещены исследуемые материалы (медный проводник и полупроводниковое сопротивление типа)

Электрическая схема коммутации показана на рис.3.

Рис. 3

На этой схеме переключатель S1 служит для выбора исследуемого материала (полупроводника или металла). А кнопкой S2 в нажатом состоянии подключает измеряемое сопротивление к вольтметру.

В отжатом состоянии кнопки S2 измеряется некоторое эталонное сопротивление R=250 Oм.

Перед проведением измерений необходимо заполнить сосуд водой не менее чем ¾ объема.

Дата добавления: 2015-07-15