Средняя относительная скорость молекул

Для нахождения средней относительной скорости молекул газа нужно получить функцию распределения относительной скорости. В состоянии термодинамического равновесия распределение молекул по скоростям описывается распределением Максвелла. Вероятность того, что молекула имеет скорость в элементарном объеме скоростного пространства , имеет вид:

,

где – масса молекулы, – температура газа.

Выделим в газе две молекулы с массами и (для общности), которые движутся со скоростями и соответственно. События, состоящие в том, что одна молекула имеет скорость , а вторая - , являются независимыми событиями. Поэтому, по теореме умножения вероятностей, вероятность совместного события

(1)

Для получения распределения по относительной скорости перейдем в (1) к новым переменным – скорости центра масс

(2)

и относительной скорости

. (3)

Из (2) и (3) легко можно получить, что

и , (4)

где – приведенная масса.

Произведение элементарных скоростных объёмов преобразуется следующим образом:

(5)

где якобиан преобразования

J = = = -1.

Частные производные вычислены из формул (4), предварительно спроектированные на оси выбранной системы координат.

Нетрудно показать, что с учетом (4), величина

. (6)

Подставим (5) и (6) в (1). В результате получим, что вероятность того, что выбранная пара молекул имеет скорость центра масс и относительную скорость в соответствующих элементарных объемах скоростного пространства имеет вид

. (7)

Откуда следует, что эта вероятность представима в виде произведения вероятности того, что выделенная пара молекул имеет скорость центра масс в заданном элементарном объеме скоростного пространства и вероятности того, что их относительная скорость в объеме , т.е. эти события независимы

,

где (8)

(9)

Полученные формулы достаточно очевидны.

Из курса механики известно, что в задаче двух чисел, движение центра масс системы, описывается как движение одного тела с суммарной массой, а относительное движение – как движение тела с массой равной их приведенной массе.

Запишем соотношение (9) в сферической системе координат и проинтегрируем его по всем направлениям относительной скорости. В результате получим распределение Максвелла по абсолютному значению относительной скорости.

,

которое имеет такой же вид, как распределение Максвелла для одной молекулы. Только вместо массы молекулы m записана приведенная масса . Следовательно,

Если массы молекул одинаковы , то , и

Аналогично вычисляются характерные скорости для центра масс молекул.

Дата добавления: 2015-07-15