Приближение.

Система уравнений (3.1 –3.3) остается бесконечно сложной, во-первых, из-за большого количества скалярных уравнений (в трехмерном координатном пространстве получается 9 уравнений движения и 27 уравнений, описывающих граничные условия), во-вторых, из-за нарушения непрерывности функций на границе раздела сред, что приводит, как правило, к невозможности применения простых численных методов для решения задач. Поэтому при моделировании различных физических процессов предполагают, что описываемые среды имеют постоянные входные параметры, хотя бы на каком-то конечном отрезке.

Как правило, даже корректно поставленные задачи математической физики остаются достаточно сложными и не всегда целесообразно полностью проводить решение такой системы. Поэтому используем приближение.

4.1 Гипотеза Кирхгофа – Лява.

Рис. 4.1 Пологая оболочка

Выбираем поверхность, где отсутствуют колебания, либо они очень малы и сводим задачу к колебаниям пологой оболочки под действием случайной силы. Затем используем диффузионное приближение.

Гипотеза Кирхгофа - Лява дает возможность установить геометрическую картину деформации оболочки. В общем случае деформация является суммой касательных перемещений , точек средней поверхности и нормального перемещения этой же поверхности; здесь и - локальные координаты точки на средней поверхности цилиндрической оболочки.

В состоянии равновесия, которое приблизительно выполняется на срединной поверхности, компоненты тензоров напряжений и деформаций ( и соответственно) под­чинены следующим условиям:

, (4.1)

где - "вертикальная" координата точек, лежащих внутри оболочки.

С помощью этих соотношений закон Гука, отражающий линейную связь тензоров напряжений и деформаций, можно записать в виде

(4.2)

Большинство уравнений, применяемых при моделировании практических задач, являются уравнениями второго порядка относительно производных. Постановка граничных условий, как правило, отличает одну задачу от другой. Во многих случаях граничные условия моделируются с помощью стандартных подходов к физическому описанию процесса.

В этом случае преобразование уравнений (3.1 – 3.3) приводит к более простым дифференциальным и интегральным уравнениям или даже к интегро-дифференциальным уравнениям. Данную задачу целесообразно свести к уравнению Пуассона (3.4):

(3.4), где

– удельная масса жидкости;

K – скорость поворота массы;

– характеризует напряжение;

(3.5)

Пренебрегаем третьим слагаемым, исходя из того, что исследуемый объект является симметричным цилиндром

Дата добавления: 2015-07-15