Читайте также: |
|
«Числовые ряды и бесконечные произведения»
Утверждение 1. (Связь между числовыми последовательностями и числовыми рядами)
Если сходится числовой ряд , значит сходится числовая последовательность
.
Утверждение 2. (Необходимое условие сходимости числового ряда)
Числовой ряд сходится тогда, когда
. Обратное неверно.
Утверждение 3. (Критерий Коши сходимости числового ряда)
Числовой ряд сходится тогда и только тогда, когда выполняется условие
Утверждение 4. (Связь между сходимостью числового ряда и его остатка)
Если ряд сходится, значит остаток
тоже сходится. (Верно и обратное).
Утверждение 5. (Умножение числового ряда на число, отличное от нуля)
Если ряд сходится, то сходится ряд
, где
и имеет место равенство
.
Утверждение 6. (Сходимость суммы и разности двух сходящихся числовых последовательностей)
Если ряды и
сходятся, то сходится ряд
и имеет место равенство
.
Утверждение 7. (Сочетательное свойство сходящихся числовых рядов)
Числовой ряд сходится и ряд
, составленный из сумм исходного ряда, всегда сходится и имеет ту же сумму, что и исходный ряд. Сходящийся ряд обладает сочетательным свойством.
Утверждение 8. (Критерий сходимости положительного числового ряда)
Положительный ряд сходится тогда и только тогда, когда последовательность его частичных сумм ограниченна сверху.
Утверждение 9. (Сравнение)
Даны два положительных ряда (1) и
(2) Если начиная с некоторого номера выполняется неравенство:
, то из сходимости ряда (2) вытекает сходимость ряда (1) или – что то же – из расходимости ряда (1) следует расходимость ряда (2).
Утверждение 10. (Признак Даламбера)
Если существует , тогда при
ряд
сходится; при
ряд
расходится; при
о сходимости или расходимости ряда ничего сказать нельзя.
Утверждение 11. (Признак Коши)
Если существует , тогда при
ряд
сходится; при
ряд
расходится; при
о сходимости или расходимости ряда ничего сказать нельзя.
Утверждение 12. (Признак Раабе)
Если существует , тогда при
ряд
сходится; при
ряд
расходится; при
о сходимости или расходимости ряда ничего сказать нельзя.
Утверждение 13. (Интегральный признак Коши-Маклорена)
Если функция непрерывна, положительна на
, то числовой ряд
сходится, если сходится
и расходится, если расходится
.
Утверждение 14. (Сходимость обобщенного гармонического ряда)
Обобщенный гармонический ряд сходится при
и расходится при
.
Утверждение 15. (Отсутствие универсального ряда сравнения)
Следует помнить, что универсального ряда нет.
Утверждение 16. (Связь между абсолютной сходимостью и сходимостью числового ряда)
Если ряд абсолютно сходится, то он просто сходится, причем
Утверждение 17. (Теорема Римана)
Если ряд сходитсянеабсолютно,то, какое бы ни взять число
(конечное, или равное
) можно так переставить слагаемые в ряде
, что его сумма станет равна
.
Утверждение 18. (Теорема Коши)
Если ряд сходитсяабсолютно, то ряд
, полученный из него перестановкой членов, также сходится и имеет ту же сумму, что и исходный ряд.
Утверждение 19. (Теорема об умножении двух числовых рядов)
Если ряды и
сходятся, причем хотя бы один из них сходится абсолютно, то сходится ряд, полученный умножением рядов
и
при этом его суммой будет являться
, где
- сумма ряда
,
- сумма ряда
.
Утверждение 20. (Признак Абеля)
Если ряд сходится, а последовательность
монотонна и ограниченна, то ряд
сходится.
Утверждение 21. (Признак Дирихле)
Если частичные суммы ряда ограниченны в совокупности (то есть
), а последовательность
монотонно стремится к нулю, то ряд
сходится.
Утверждение 22. (Признак Лейбница)
Если при
монотонно убывает, то ряд
сходится.
Утверждение 23. (Способы вычисления и оценки остатка числового ряда)
1. Если ряд знакочередующийся, последовательность является невозрастающей,
предел общего члена равен нулю, то справедлива теорема.
Теорема. Остаток ряда по модулю не превосходит первого из отброшенных членов
.
2. Если положительный ряд удовлетворяет интегральному признаку Коши-Маклорена и функция
непрерывна и невозрастает на
, то остаток ряда оценивается
3. Если существует ряд такой, что
, тогда остаток ряда оценивается
,
Утверждение 24. (Необходимое условие сходимости бесконечного произведения)
Бесконечное произведение сходится тогда, когда
.
Утверждение 25. (Свойства сходящихся бесконечных произведений)
1. Начиная с некоторого номера все члены бесконечного произведения положительны.
2. Все члены бесконечного сходящегося произведения могут быть представлены в виде , где
- бесконечно малая числовая последовательность.
3. Отбрасывание любого конечного числа сомножителей не повлияет на его произведение.
Утверждение 26. (Связь между сходимостью бесконечных произведений и числовых рядов)
Если бесконечное произведение сходится, значит сходится числовой ряд
или
.
Дата добавления: 2015-07-18; просмотров: 79 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
Общее собрание членов товарищества | | | июня 1947 |