Я ветвь разомкнута

Рис.2 Схема рассматриваемого примера

Для упрощения расчетных выражений определим суммарное сопротивление каждой ветви

Z₁₁ = Z₁+Z₀₁ = 4 + j3 = 5e ^j36,870

Z₂₂ = Z₂+Z₀₂ = 8 – j6 = 10e ^-j36,870

Z₃₃ = Z₃+Z₀₃ = 8 + j6 = 10e ^j36,870

Z₄₄ = Z₄+Z₀₄ = 0 + j10 = 10e ^j90

1. Расчет цепи методом непосредственного применения законов Кирхгофа

Для определения 4-х неизвестных токов нужно составить 4 независимых уравнения.

Произвольно выбираем направления токов. В схеме (рис.2) 2 узла, поэтому по I закону Кирхгофа можно написать только 1 уравнение

I₁+I₂+I₃+I₄ =0 (1.1)

Недостающие 3 уравнения нужно написать по II закону Кирхгофа

Уравнение для контура I Z₁₁I₁ –Z₂₂I₂ = E₁ – E₂ (1.2)

Уравнение для контура II Z₂₂I₂ –Z₃₃I₃ = E₂ – E₃ (1.3)

Уравнение для контура III Z₃₃I₃ –Z₄₄I₄ = E₃ – E₄ (1.4)

Из уравнения 1.1 I₄ = – I₁ – I₂ – I₃

Заменив I₄ в уравнении 1.4, получим следующее уравнение для контура III

Z₄₄I₁ + Z₄₄I₂ + (Z₃₃ + Z₄₄) I₃ = E₃ – E₄ (1.5)

Систему трех уравнений (1.2, 1.3, 1.5) можно привести к стандартному виду

a₁₁I₁ + a₁₂I₂ + a₁₃I₃ = E₀₁

a₂₁I₁ + a₂₂I₂ + a₂₃I₃ = E₀₂ (1.6)

a₃₁I₁ + a₃₂I₂ + a₃₃I₃ = E₀₃

где:

a₁₁ = Z₁₁ = 4 + j3 = 5e ^j36,870;

a₁₂ = -Z₂₂ = -8 + j6 = 10e ^j143,130

a₁₃ = 0;

a₂₁ = 0;

a₂₂ = Z₂₂ = 8-j6 = 10e ^-j36,870;

a₂₃ = -Z₃₃= -8-j6 = 10e ^–j143,130

a₃₁ = Z₄₄ = 0 + j10 = 10e ^j90

a₃₂ = Z₄₄ = 0 + j10 = 10e ^j90

a₃₃ = (Z₃₃+Z₄₄) = 8 + j16 = 17.888e ^j63.435

E₀₁ = E₁ – E₂ = 100-j100 = 141.421e ^–j45

E₀₂ = E₂ – E₃ = j100 = 100e ^j90

E₀₃ = E₃ – E₄ = -60+j80 = 100e ^j126.870

Главный определитель системы трех уравнений можно вычислить следующим образом

=

= -80 +j1940 =1940e ^j92,361

Первый частный определитель

=

= 12000 + j30000 = 32311e ^j68,199

Второй частный определитель

=

= -15480 - j17360 = 23259e^-j131,724

Третий частный определитель

=

= -5000 - j1000 = 5099.0e ^j-168,69

Ток первой ветви = 16,641 e ^–j24,163 = 15.183 - j6.812 (А)

Ток второй ветви = 11,979 e ^j135,92 = -8.605 + j8.334 (А)

Ток третьей ветви = 2,6262 e ^j98,948 = -0.408 + 2.594 (А)

Ток четвертой ветви находим из уравнения 1.1

I₄ = – I₁ – I₂ – I₃ = -6,170 - j4.117 = 7.417 e ^j-146.29 (А)

Ток пятой ветви I₅ = 0 (ветвь разомкнута)

1. Проверка полученных результатов по условию баланса мощностей

По закону сохранения энергии суммарная мощность всех источников ЭДС должна быть равна суммарной мощности всех потребителей энергии.

Комплексная мощность каждого источника ЭДС определяется по формуле

где - сопряженный комплекс тока. (Сопряженными называются комплексные числа, векторы которых на комплексной плоскости симметричны относи­тельно вещественной оси, т.е. они имеют одинаковые модули и равные по величине, но противопо­ложные по знаку, аргументы.

Например, если I = 3 + j4 = 5 , то = 3 - j4 = 5

Тогда комплексная мощность ЭДС первой ветви

(E₁= 100 , I₁ = 15.183 - j6.812 = 16,641e^{- j24,164}) будет равна

= 100 ∙16,641e ^j24,164 = 1664,1 e^j24,164 = 1518,3 +j6811,7

Аналогично, можно найти комплексную мощность остальных источников ЭДС

Мощность потребителя энергии можно определить по формуле S = I²∙ Z (где: I² – квадрат модуля тока, Z – комплексное сопротивление потребителя)

Тогда мощность, потребляемая первой ветвью

S₁₁ = I₁²∙ Z₁ = 16,641²∙(4 + j3) = 1107,7 +j830,8

Аналогично, можно найти мощность потребителей и источников ЭДС для остальных ветвей.

Суммарная комплексная мощность всех источников

Sист = S₁ + S₂ + S₃+ S₄ = 2310,9 + j561,3 (ВА)

Суммарная комплексная мощность всех потребителей

Sпотр = S₁₁ + S₂₂ + S₃₃+ S₄₃ = 2310,9 + j561,3 (ВА)

Совпадение значений Sист и Sпотр свидетельствует о правильности найденных значений токов в ветвях.

Вещественная часть комплексной мощности Sпотр определяет активную мощность Рпотр, мнимая – реактивную Qпотр, а модуль – полную S:

Рпотр = 2310,9 (Вт); Qпотр = 561,3 (ВАр); Sпотр = 2378,1 (ВАр);

1. Расчет цепи методом контурных токов

В методе контурных токов используется только II-й закон Кирхгофа.

При выборе контуров должны выполняться два условия:

1. Каждый новый контур должен включать новую ветвь.
2. Каждый новый контур должен иметь общую ветвь с предыдущим контуром.

Для схемы Рис.3 можно выделить 3 контура - I, II, III

Будем считать, что направления контурных токов совпадают с направлениями обхода контуров, как показано на Рис. 3 – по часовой стрелке.

Рис.3 Схема рассматриваемого примера с контурными токами

Тогда система трех уравнений для трех контурных токов I₁₁, I₂₂, I₃₃, имеют вид:

Z₁₁I₁₁ + Z₂₂I₁₁ - Z₂₂I₂₂ = E₁ – E₂ (3.1)

Z₂₂I₂₂ - Z₂₂I₁₁ + Z₃₃I₂₂ - Z₃₃I₃₃ = E₂ – E₃ (3.2)

Z₃₃I₃₃ - Z₃₃I₂₂ + Z₄₄I₃₃ - Z₄₄I₄₄ = E₃ – E₄ (3.3)

Систему трех уравнений (6.1, 6.2, 6.3) также можно привести к стандартному виду

a₁₁I₁₁ + a₁₂I₂₂ + a₁₃I₃₃ = E₀₁

a₂₁I₁₁ + a₂₂I₂₂ + a₂₃I₃₃ = E₀₂ (3.4)

a₃₁I₁₁ + a₃₂I₂₂ + a₃₃I₃₃ = E₀₃

где:

a₁₁ = Z₁₁+ Z₂₂ = 12 – j3 = 12.369e^{- j14,036}

a₁₂ = - Z₂₂ = -8 + j6 = 10e ^j143,130

a₁₃ = 0;

a₂₁ = - Z₂₂ = - 8 + j6 = 10e ^j143,130

a₂₂ = Z₂₂ + Z₃₃ = 16 + j0 = 16e^j0

a₂₃ = - Z₃₃ = -8 – j6 = 10e^{- j143.130}

a₃₁ = 0;

a₃₂ = - Z₃₃ = -8 – j6 = 10e^{- j143.130}

a₃₃ = Z₃₃ + Z₄₄ = 8 + j16 = 17.888e^{- j63.435}

E₀₁ = E₁ – E₂ = 100 –j100 = 141.421e^{- j45}

E₀₂ = E₂ – E₃ = 0 + j100 = 100e ^j90

E₀₃ = E₃ – E₄ = - 60 + j80 = 100e ^j126.870

Решая системы уравнений (3.4) (аналогично решению системы уравнений 1.6), находим контурные токи I₁₁, I₂₂, I₃₃, I₄₄.

Главный определитель системы трех уравнений можно вычислить следующим образом

=

= -80 + j1940 = 1941.6e ^j92,361

Первый частный определитель

=

= 12000 + j30000 = 32311e ^j68,199

Второй частный определитель

=

= -3480 + j12640 = 13110e ^j105,393

Третий частный определитель

=

= -8480 + j11640 = 14401 e ^j126,074

Первый контурный ток = 16.641e ^–j24,163 = 15.183 - j6.812

Второй контурный ток = 6.752e ^j13,032 = 6.578 + j1.522

Третий контурный ток = 7.417e ^j33,713 = 6.170 + j4.117

Токи в ветвях можно найти следующим образом, учитывая величину и направление контурных токов в каждой из ветвей:

I₁ = I₁₁ = 15.183 - j6.812 (А)

I₂ = -I₁₁ + I₂₂ = -8.605 + j8.334 (А)

I₃ = -I₂₂ + I₃₃ = -0.408 + 2.594 (А)

I₄ = I₄₄ – I₄₁ – I₄₂ – I₄₃ = -6.170 - j4.117 (А)

I₅ = 0

Результаты совпадают с полученными ранее.

1. Расчет цепи методом наложения (суперпозиции)

Метод наложения — применяется для расчета электрических цепей, имеющих несколько ЭДС. Сущность метода наложения состоит в том, что ток в какой-либо части цепи можно считать равным сумме частичных токов, создаваемых каждым источником ЭДС, действующими независимо от других.

Найдем токи, создаваемые в схеме источником ЭДС Е₁. Эквивалентная схема рассматриваемой цепи изображена на ( Рис.4), где:

Z₁₁ = Z₁+Z₀₁ = 4 + j3 = 5e ^j36,870

Z₂₂ = Z₂+Z₀₂ = 8 – j6 = 10e ^-j36,870

Z₃₃ = Z₃+Z₀₃ = 8 + j6 = 10e ^j36,870

Z₄₄ = Z₄+Z₀₄ = 0 + j10 = 10e ^j90

Рис.4 Схема цепи с одним источником ЭДС Е₁

Проводимости ветвей схемы:

Y₁ = 1/Z₁₁ = 0,2 = 0,16 – j0,12;

Y₂ = 1/Z₂₂ = 0,1 = 0,08 +0,06;

Y₃ = 1/Z₃₃ = 0,1 =0,08 – j0,06;

Y₄ = 1/Z₄₄ = 0,1 = -j0,1;

Полная проводимость и сопротивление параллельного участка цепи

Y₂₃₄ = Y₂ + Y₃ + Y₄ = 0,16 –j0,1 = 0,18868 ;

Z₂₃₄ = 1/Y₂₃₄ = 5,300 = 4,4944 + j2,8090

Полное сопротивление цепи Z’ = Z₁₁ + Z₂₃₄ = 8,4944 + j5,8090 = 10,2907

Ток I₁₁ = E₁/Z’ = 9,7175 = 8,0212 -j5,4854;

напряжение на параллельном участке ab U₂₃₄ = I₁₁* Z₂₃₄ = 51,5028

Токи от первого источника ЭДС в ветвях

I₂₁ = U₂₃₄* Y₂ = 5,1503 = 4,244 + j2,918;

I₃₁ = U₂₃₄* Y₃ = 5,1503 = 3,989 – j3,257;

I₄₁ = U₂₃₄* Y₄ = 5,1503 = -0,212 – j5,146;

На этом этапе можно осуществить частичную проверку полученных результатов. Очевидно, что ток I₁₁ = 8,021 -j5,485 должен быть равен сумме токов в параллельных ветвях схемы I₂₁ + I₃₁ + I₄₁ = 4,244 + j2,918 +

+ 3,989 – j3,257 - 0,212 – j5,146 = 8,021 –j5,485

Находим токи, создаваемые в схеме рис.1 источником ЭДС Е₂.

Полная проводимость и сопротивление параллельного участка цепи

Y₁₃₄ = Y₁ + Y₃ + Y₄; Z₁₃₄ = 1/Y₁₃₄

Полное сопротивление цепи Z’’ = Z₂₂ + Z₁₃₄

Ток I₂₂ = E₂/Z’’;

напряжение на параллельном участке ab U₁₃₄ = I₂₂* Z₁₃₄

Токи второго источника ЭДС Е₂ в ветвях схемы

I₁₂ = U₁₃₄* Y₁; I₃₂ = U₁₃₄* Y₃; I₄₂ = U₁₃₄* Y₄;

Аналогично находим токи создаваемые источниками Е₄ (третья ветвь не содержит источников, поэтому I₁₃; I₂₃; I₃₃; I₄₃ равны нулю)

Токи в ветвях исходной схемыравны сумме токов, создаваемых каждым источником ЭДС с учетом их направлений:

I₁ = I₁₁ – I₁₂ – I₁₃ – I₁₄ = 15.183 - j6.812 (А)

I₂ = I₂₂ – I₂₁ – I₂₃ – I₂₄ = -8.605 + j8.334 (А)

I₃ = I₃₃ – I₃₁ – I₃₂ – I₃₄ = -0.408 + 2.594 (А)

I₄ = I₄₄ – I₄₁ – I₄₂ – I₄₃ = -6.170 - j4.117 (А)

Дата добавления: 2015-07-18