Формула Лапласа

Под искривленной поверхностью жидкости помимо внутреннего давления создается еще дополнительное давление, обусловленное кривизной поверхности. Представим себе жидкость в трех сосудах, в одном из которых ее поверхность имеет выпуклую форму, в другом — плоскую и в третьем — вогнутую. Поскольку поверхностный слой жидкости подобен напряженной пленке, выпуклая поверхность, стремясь сократиться и принять плоскую форму, будет, очевидно, оказывать на жидкость дополнительное давление , направленное так же, как внутреннее давление (рис. 8.7, а). По той же причине под вогнутой поверхностью возникает дополнительное давление, направленное противоположно внутреннему давлению (рис. 8.7, в). Под плоской поверхностью дополнительного давления не будет (рис. 8.7, б).

Рисунок 8.7.

Естественно предположить, что величина дополнительного давления должна зависеть от величины силы поверхностного натяжения жидкости и от степени искривленности ее поверхности, иначе говоря, от коэффициента поверхностного натяжения а и радиуса кривизны поверхности . Характер зависимости тоже очевиден: дополнительное давление должно быть пропорционально коэффициенту поверхностного натяжения и обратно пропорционально радиусу кривизны поверхности жидкости:

.

Точное выражение для дополнительного давления под жидкой искривленной поверхностью любой формы теоретически вывел в 1805 г. французский математик и физик Лаплас:

(6)

Это выражение называется формулой Лапласа. Знак плюс соответствует выпуклой поверхности, знак минус — вогнутой поверхности; и — радиусы кривизны двух нормальных взаимно перпендикулярных сечений поверхности, изображенных на рис. 8.8. Если искривленную поверхность пересечь двумя плоскостями ( и ) так, чтобы они были взаимно перпендикулярны и содержали в себе нормаль к поверхности в точке М, то на поверхности получатся две дуги и радиусами и ; это и есть радиусы кривизны нормальных взаимно перпендикулярных сечений.

Рисунок 8.8.

Полусумма — называется средней кривизной поверхности в точке М. Для всех форм поверхности, которые могут образоваться у жидкости, средняя кривизна остается постоянной для любой пары нормальных взаимно перпендикулярных сечений поверхности в данной точке.

В случае сферической поверхности , поэтому, согласно формуле Лапласа, дополнительное давление будет

(7).

При большой кривизне поверхности, которая имеет место, например, у очень маленьких капелек, дополнительное давление может быть довольно значительным. Подсчитаем для капельки воды радиусом 0,001 мм:

Отметим, что из капелек данного размера образуются туманы и дымки. Дополнительное давление играет большую роль в так называемых капиллярных явлениях.

Дата добавления: 2015-07-14