Теорема 4. 2. Достаточные условия существованиялокального экстремума.

Пусть задана функция у которой все вторые частные производные

непрерывны в . Пусть -стационарная точка этой функции.

Вычисляем в точке и составляем определитель

(4.9)

ТОГДА СТАЦИОНАРНАЯ ТОЧКА БУДЕТ:

1) Точкой локального максимума, если

2) Точкой локального минимума, если

3) не экстремальной точкой, если

Пример 3. Используя алгоритм, предложенный в теореме 4.2 исследовать функции на экстремум

1) ; 2) ; 3)

Решение. Решаем 1). Вычислим частные производные

Находим стационарные точки. Для этого решаем систему уравнений

Таким образом существует только одна стационарная точка в которой функция

может достигать экстремума. Вычисляем в точке и составляем определитель

Так как , то по теореме 2 пункт 2) точка -экстремальная.

.

Решаем 2). Вычислим частные производные

Находим стационарные точки. Для этого решаем систему уравнений

Таким образом существует только одна стационарная точка в которой функция

может достигать экстремума. Вычисляем в точке и составляем определитель

Так как , то по теореме 2 пункт 3) в точке нет экстремума.

Решаем 3). Вычислим частные производные

Находим стационарные точки. Для этого решаем систему уравнений

Таким образом существует только одна стационарная точка в которой функция

может достигать экстремума. Вычисляем в точке и составляем определитель

Так как , то по теореме 2 пункт 1) точка -экстремальная.

.

Упражнение 3. Исследовать функции на экстремум

Дата добавления: 2015-07-14