Типи теорем

Ще у школі ми зустрічалися з різними видами теорем: пряма, обернена, протилежна, протилежна до оберненої. Розглянемо їх з точки зору математичної логіки.

З'ясуємо логічну суть цих термінів. Якщо пряме твердження мовою логіки записати у вигляді формули

(1)

то твердження (2)

називають оберненим до (1);

твердження (3)

протилежним до (1),

а твердження (4)

протилежним твердженню, оберненому до (1).

Інтуїтивно зрозуміло, що речення (1) — (4) не завжди одночасно істинні, тобто не завжди є правильними теоремами.

Теорема 1(Пряма): за допомогую символів математичної логіки її можна записати так: ( х є N) (Р (х) Q(х))

Приклад: Якщо сума цифр числа ділится на 3, то і число ділиться на 3.

х є N – теорема справедлива для всіх натуральних чисел.

Р (х) – умова теореми: „Сума цифр числа х: 3”.

Q(х) - висновок теореми: „Число х ділиться на 3 ”.

Поміняємо місцями умову і висновок без зміни пояснювальної частини одержимо обернену теорему.

Теорема 2 (Обернена ): за допомогую символів матлогіки вона записується так ( х є N) (Q (х) Р (х))

Приклад: Якщо число ділиться на 3, то сума цифр цього числа ділиться на 3.

Якщо в прямій теоремі умову і висновок замінити їх запереченням, то одержимо теорему протилежну до прямої.

Теорема 3 (Протилежна ): за допомогою символів матлогіки її можна записати так: ( х є N ) ( )

Приклад: Якщо сума цифр даного числа не ділится на 3, то число не ділиться на 3.

Якщо в оберненій теоремі умову і висновок замінити їх запереченнями, то одержимо теорему протилежну до оберненої.

Теорема 4 (Протилежна до оберненої): символічно вона записуєтся так: ( х є N) ( )

Приклад: Якщо число не ділиться на 3, то й сума цифр цього числа не ділиться на 3.

Теорема 5. З істинності прямої теореми не випливає істинність оберненої до неї теореми.

Доведення. Для доведення цього твердження достатньо за означенням логічного наслідку показати, що формула не є загальнозначущою на довільній множині М. Справді, якби це було не так, то для довільного фіксованого елемента а М висловлення було б істинним, а це не правильно, бо:

оскільки при Р (а) = 0 і Q (а) = 1 ця формула хибна.

Теорему доведено.

Обґрунтований факт показує, що коли ми спромоглися довести пряму теорему, то про істинність оберненої донеї теоремими нічого конкретного не можемо сказати: вона може бути водних випадках істинною, в інших — хибною. Звідси випливає, що в кожному конкретному випадку, коли требадослідити обернену до даної теореми, її формулюють, апотім доводять чи спростовують.

Теорема 6. Пряма теорема і обернена до протилежної є рівносильними між собою твердженнями.

Доведення. Для обґрунтування цього факту нам, по суті, потрібно показати, що . У даному випадку це зробити дуже просто. Справді, оскільки і при будь-якому х М, то Цей висновок дає змогу з істинності одного твердження автоматично робити висновок про істинність другого твердження. У логіці цей факт відомий під назвою закону контрапозиції:

Теорему доведено.

Через те, що будь-яку з теорем () — (4) можна назвати прямою, то з теорем 5 і 6 випливають такі наслідки:

1) 3 істинності оберненої теореми не випливає істинність відповідної їй прямої теореми.

2) Протилежна прямій теорема і обернена до прямої теорема — рівносильні між собою математичні речення.

3) 3 істинності протилежної прямій теореми не випливає істинність протилежної до оберненої теореми.

Теореми умовно поділяють на прості і складені. Теорема вважається простою, коли обидва предикати Р(х) і Q(x) є елементарними. В усіх інших випадках теорема вважається складною. Інколи доведення складної теореми можна замінити доведенням кількох, взагалі кажучи, простих теорем.

---

Дата добавления: 2015-07-14