Виды дисперсий.

В статистическом исследовании очень часто бывает необходимо не только изучить вариации признака по всей совокупности, но и проследить количественные изменения признака по однородным группам совокупности, а также и между группами. Следовательно, помимо общей средней для всей совокупности необходимо просчитывать и частные средние величины по отдельным группам.

Различают три вида дисперсий:

• общая;
• средняя внутригрупповая;
• межгрупповая.

Общая дисперсия (σ0²) характеризует вариацию признака всей совокупности под влиянием всех тех факторов, которые обусловили данную вариацию. Эта величина определяется по формуле:

где - общая средняя арифметическая всей исследуемой совокупности.

Средняя внутригрупповая дисперсия (σ²) свидетельствует о случайной вариации, которая может возникнуть под влиянием каких-либо неучтенных факторов и которая не зависит от признака-фактора, положенного в основу группировки. Данная дисперсия рассчитывается следующим образом: сначала рассчитываются дисперсии по отдельным группам (σ i²), затем рассчитывается средняя внутригрупповая дисперсия:

где ni - число единиц в группе.

Межгрупповая дисперсия σ² (дисперсия групповых средних) характеризует систематическую вариацию, т.е. различия в величине исследуемого признака, возникающие под влиянием признака-фактора, который положен в основу группировки. Эта дисперсия рассчитывается по формуле:

где - средняя величина по отдельной группе.

Все три вида дисперсии связаны между собой: общая дисперсия равна сумме средней внутригрупповой дисперсии и межгрупповой дисперсии:

Данное соотношение отражает закон, который называют правилом сложения дисперсий. Согласно этому закону (правилу), общая дисперсия, которая возникает под влиянием всех факторов, равна сумме дисперсий, которые появляются как под влиянием признака-фактора, положенного в основу группировки, так и под влиянием других факторов. Благодаря правилу сложения дисперсий можно определить, какая часть общей дисперсии находится под влиянием признака-фактора, положенного в основу группировки.

Межгрупповая и общая дисперсии помогают определить, на сколько сильно результат педагогического эксперимента (или любого другого опыта) обусловлен принадлежностью испытуемого к той или иной группе. Для этого используется коэффициент детерминации.

Используют также эмпирическое корреляционное отношение, получаемое извлечением квадратного корня из коэффициента детерминации.

Чем ближе значение корреляционного соотношения к единице, тем более тесную связь мы наблюдаем.

Эмпирическое корреляционное отношение представляется как корень квадратный из эмпирического коэффициента детерминации. Оно показывает тесноту связи между статистическими данными и определяется по формуле:

где числитель — дисперсия групповых средних;
знаменатель — общая дисперсия.

Корреляционное отношение равно нулю, если связи между данными нет. В таком случае все групповые средние будут равны между собой и межгрупповой вариации не будет.

Корреляционное отношение равно единице тогда, когда связь функциональная. В этом случае дисперсия групповых средних будет равна общей дисперсии, т. е. внутригрупповой вариации не будет.

Чем значения корреляционного отношения ближе к единице, тем сильнее, ближе к функциональной зависимости связь между признаками.

Для получения представления о форме распределения используются показатели среднего уровня (средняя арифметическая, мода, медиана), показатели вариации, ассиметрии и эксцесса.

В симметричных распределениях средняя арифметическая, мода и медиана совпадают

. Если это равенство нарушается — распределение ассиметрично.

Простейшим показателем ассиметрии является разность , которая в случае правосторонней ассиметрии положительна, а при левосторонней — отрицательна.

Дата добавления: 2015-07-14