Длина ломаной и уравнения.

Длина ломаной не меньше длины отрезка и равно ей лишь тогда, когда вершины ломанной принадлежат отрезку и перенумерованы в порядке следований от к .

Пусть фиксированный отрезок пересекает прямые , перенумерованные в порядке следования от к и заданные параметрически соответственно и - произвольная точка прямой . Тогда уравнение

является уравнением с неизвестными, где его левая часть – это длина ломанной , а его правая часть – длина отрезка . Поэтому левая часть уравнений не меньше ее правой части, и равна ей лишь в том случае, когда точки принадлежат отрезку . Отсюда получаем, что набор будет решением уравнения только в том случае, когда точки - будут точками пересечения прямых с прямой, проходящей через точки и . Заметим, что уравнение с неизвестными равносильно системе уравнений

каждое из которых является уравнением с одной неизвестной.

Замечание. Алгебраический метод решения уравнения малоэффективен. Он требует достаточно длинных выкладок (освобождения от радикалов). При каждом возведении в квадрат могут возникнуть посторонние решения. Поэтому, даже если уравнение удалось свести к рациональному уравнение, которое удалось решить (что само по себе не просто), то требуется проверить, что полученные решения являются ешениями уравнения . Графический метод при решении таких уравнений не применим.

Пример 1. Решите уравнение

Решение. Геометрический метод. На плоскости рассмотрим две параллельные прямые и , заданные параметрически. , и точки , . Тогда левая часть уравнения – это длина ломанной , где - это произвольная точка прямой , - прямой , а правая часть – длина отрезка .

Поэтому пара -будет решением уравнения тогда и только тогда, когда точка совпадет с точкой , точка - с , где - это точки пересечения прямой с прямой и соответственно. Найдем абсциссы этих точек:

- уравнение прямой, проходящей через две заданные точки,

Ответ: .

Пример 2. Решите уравнение

.

Решение. Геометрический метод. На плоскости через обозначим ось абсцисс, через - ось ординат и рассмотрим точки В(6;-1), С(-2;5), Тогда левая часть уравнения – это длина ломаной первая часть – длина отрезка ВС. Поэтому пара (x;y) – решение уравнения в том и только в том случае, если точка совпадает с точкой К, точка – с точкой L. Так как уравнение прямой ВС запишется или 3u+4v-14=0, то .

Ответ:.

Пример 3. Докажите, что уравнение

равносильно системе уравнений

Решение. Геометрический метод. Пусть прямая – это ось абсцисс, – биссектриса первого и третьего квадранта, – ось ординат на плоскости OUV. Рассмотрим точки В(6;-1), С(-2;5), Точки лежат на прямых левая часть уравнения – это длина ломаной правая часть уравнения и уравнений системы – длина отрезка ВС; левая часть первого уравнения системы – это длина ломаной второго уравнения – длина ломаной В третьего уравнения – длина ломаной В третьего уравнения – длина ломаной В Из рисунка видно, что упорядочная тройка (x,y,z) будет решением уравнения, если и только если эта тройка будет решением системы. Поэтому уравнение и система равносильны. Поскольку, уравнение прямой проходящей через точки В и С, имеет вид 3u+4v=14, то .

Ответ:.

Замечание. При конструировании уравнений рассматриваемого типа можно прямые заменять произвольными кривыми, задаваемыми параметрически.

Дата добавления: 2015-07-14