Аналоговые фильтры

Фильтром называют частотно-зависимое устройство, предназначенное для выделения из состава подведенного к его входу сложного электрического колебания частотных составляющих, расположенных в заданной области, и для подавления частотных составляющих, расположенных во всех других областях частот. Электрические фильтры применяются для выделения (и пропускания) требуемого сигнала из смеси полезных и нежелательных сигналов — помех. Помехами могут являться собственные шумы электронных блоков; атмосферные шумы, вызванные грозовыми разрядами; промышленные шумы, образованные искрящими электромеханическими установками, содержащими электрические двигатели, или контактами мощных размыкателей электрических цепей и т. д.

Распространение электрических фильтров в современной технике столь широко, что невозможно себе представить электронный прибор средней сложности, в котором бы не использовались фильтры в том или ином виде. Ранее рассматривались простейшие фильтры, используемые в схемах ИВП. Далее пойдет речь о схемах фильтров, предназначенных для применения, например, в сигнальных цепях систем автоматического управления. Для этих систем характерен достаточно низкий частотный диапазон (от долей герца до нескольких десятков тысяч герц), что определяет схемотехнику используемых усилителей — фильтры строятся на пассивных RC-цепях с активными приборами, чаще всего ОУ.

Частотно-избирательные свойства фильтра можно описать, рассмотрев его передаточную функцию:

,

(25)

где и — преобразованные по Лапласу сигналы (напряжения) на входе и выходе фильтра соответственно. В общем случае числитель и знаменатель выражения (25) представляют собой полиномы относительно переменной , причем порядок полинома в числителе не должен превышать порядка полинома знаменателя. Степень полинома знаменателя определяет порядок фильтра.

Для установившейся частоты передаточную функцию можно переписать в следующем виде:

,

называемом амплитудно-фазовой частотной характеристикой (АФЧХ). Модуль этой характеристики является амплитудно-частотной характеристикой устройства, а аргумент — фазо-частотной характеристикой.

Диапазоны или полосы частот, в которых сигналы проходят (мало ослабляется или даже усиливается), называются полосами пропускания; в них значение амплитудно-частотной характеристики относительно велико и, в идеальном случае, постоянно. Диапазоны частот, в которых сигналы подавляются, образуют полосы задерживания. В полосе задерживания значение амплитудно-частотной характеристики относительно мало, а в идеальном случае равно нулю.

В зависимости от взаимного расположения полосы пропускания и полосы задерживания различают:

· фильтр верхних частот (ФВЧ) — фильтр с полосой пропускания от некоторой частоты до бесконечности и полосой задерживания от 0 до (рис. 142,а);

· фильтр нижних частот (ФНЧ) — фильтр с полосой пропускания от 0 до некоторой частоты и полосой задерживания от некоторой частоты до бесконечности (рис. 142,б);

· полосовой фильтр (ПФ) — фильтр с полосой пропускания от некоторой частоты до другой частоты и полосами задерживания от 0 до и от до бесконечности (рис. 142,в);

· режекторный (заграждающий) фильтр (РФ) — фильтр с полосами пропускания от 0 до и от до бесконечности с полосой задерживания от до (рис. 142,г).

Частоту обычно называют частотой среза фильтра, а частоту — частотой задерживания.

а)	б)
в)	г)
Рис. 142

Кроме рассмотренных четырех основных типов фильтров в корректирующих цепях систем управления находят применение фазовые корректоры (ФК), у которых коэффициент передачи не зависит от частоты, а фаза обычно растет.

В идеальном случае между полосами пропускания и задерживания не должно присутствовать никакого частотного интервала. В практическом случае полосы пропускания и задерживания четко не разграничены и должны быть формально определены. В качестве полосы пропускания выбирается диапазон частот, где значение амплитудно-частотной характеристики превышает некоторое заранее выбранное число, обозначенное через на рис. 142, а полосу задерживания образует диапазон частот, в котором амплитудно-частотная характеристика меньше определенного значения, например, . Интервал частот, в котором характеристика переходит от полосы пропускания к полосе задержания, называется переходной областью.

Обычно задача проектирования фильтра сводится к созданию устройства с требуемым видом АЧХ, иногда при проектировании задается передаточная функция фильтра.

Рассмотрим вопросы проектирования ФНЧ. Расчет фильтров других классов производится аналогично. Очевидно, что для идеального выделения или ослабления сигналов АЧХ фильтров должна быть прямоугольной. Однако идеальные прямоугольные частотные характеристики заведомо нереализуемы и у реальных фильтров они лишь приближаются к идеальным с той или иной степенью точности в зависимости от сложности их структуры.

Приближения АЧХ реального фильтра к идеальной прямоугольной характеристике пытаются достигнуть путем аппроксимации идеальной АЧХ различными математическими функциями. Использование той или иной математической функции определяет степень «идеальности» получаемого реального фильтра, а также придает этому фильтру некоторые специфические свойства. Рассмотрим две наиболее распространенных на практике аппроксимирующих функции — функции Баттерворта и Чебышева.

Наиболее проста АЧХ ФНЧ Баттерворта. Выражение для нее имеет следующий вид:

, (n=1,2,3… — порядок фильтра).

АЧХ фильтра Баттерворта монотонно спадает (никогда не возрастает) при увеличении частоты (рис. 143,а).

а)	б)
Рис. 143

Фильтр Баттерворта относится к так называемым полиномиальным фильтрам, у которыхполином числителя в передаточной функции имеет нулевой порядок. Среди всех полиномиальных фильтров АЧХ фильтра Баттерворта наиболее плоская в районе , вследствие чего называется максимально плоской. Следовательно, для диапазона низких частот характеристика фильтра Баттерворта наилучшим образом аппроксимирует идеальную характеристику. Однако, для частот, расположенных около частоты среза и в полосе задерживания, характеристика фильтра Баттерворта заметно уступает характеристикам других фильтров.

С увеличением порядка фильтра Баттерворта, его АЧХ все более приближается к идеальной (рис. 143,б). Данное правило справедливо для любого фильтра, однако следует учесть, что увеличение порядка фильтра ведет к усложнению его схемы.

При аппроксимации идеальной АЧХ функциями Чебышева вида

получается АЧХ фильтра Чебышева: , где — параметр, определяющий размах пульсаций АЧХ фильтра Чебышева в полосе пропускания (см. рис. 143,а). При равных значениях порядка АЧХ фильтра Чебышева имеет более узкую переходную область, по сравнению с АЧХ фильтра Баттерворта. Однако если проанализировать вид ФЧХ для этих фильтров, то можно сделать вывод, распространяемый на все фильтры — чем более АЧХ фильтра близка к идеальной, тем больше ФЧХ отличается от линейной.

На практике иногда используют фильтры Бесселя, рассчитанные для получения максимально линейной ФЧХ. Однако, в силу сформулированной закономерности, АЧХ фильтра Бесселя далека от идеальной.

Порядок фильтра, обеспечивающий заданный вид АЧХ, определяется следующими зависимостями:

, ,

где — максимальное затухание в полосе пропускания; — минимальное затухание в полосе задерживания. Для фильтра Чебышева можно записать .

Пусть , , , . Оценим порядок фильтров Баттерворта и Чебышева, которые бы обеспечивали заданный вид АЧХ: , . Таким образом, заданный вид АЧХ обеспечит фильтр Баттерворта 9-го порядка или фильтр Чебышева 4-го порядка. Однако следует учесть, что при использовании фильтра Чебышева в полосе пропускания будут наблюдаться пульсации величиной .

В общем случае передаточная функция рассмотренных фильтров Баттерворта и Чебышева произвольного порядка будет содержать следующие сомножители второго:

(26)

и первого (в случае нечетного порядка проектируемого фильтра):

(27)

порядков. Функция (26) описывает типовое звено (ФНЧ) второго порядка. Коэффициент определяет коэффициент усиления этого звена, коэффициенты и — некоторые нормированные коэффициенты, значения которых определяются исходя из использованной при аппроксимации АЧХ функции. Существует большое количество схем типовых звеньев второго порядка, для которых приведены методики расчета компонентов, составляющих схему, исходя из значений коэффициентов , и . Для различных фильтров нормированные коэффициенты и сведены в таблицы в зависимости от порядка фильтра. Например, для фильтра Баттерворта второго порядка имеем , . Если требуется создать фильтр Баттерворта 4-го порядка, то требуется последовательно включить два типовых звена второго порядка, при этом , , , . В случае проектирования фильтра Чебышева нормированные коэффициенты имеют различные значения в зависимости от требуемого уровня пульсаций в полосе пропускания фильтра.

Функция (27) описывает типовое звено (ФНЧ) первого порядка. Расчет данного звена осуществляется аналогично звену второго порядка.

Рис. 144

Фильтры верхних частот, полосовые и режекторные также строятся из типовых звеньев второго и первого порядков, для которых разработаны схемы и методики расчета. Рассмотрим, для примера, расчет параметров элементов, входящих в типовую схему, показанную на рис. 144. Схема представляет собой звено (фильтр) второго порядка с двухпетлевой частотно-зависимой ООС. Для удобства пассивные элементы в схеме обозначены своими операторными проводимостями .

Определим передаточную функцию данной схемы. В соответствие с первым законом Кирхгофа для токов в точке 1 имеем:

.

Для идеального ОУ имеем , . Выразим токи через напряжения:

, , , , . Подставив эти соотношения в уравнение для токов в точке 1, получим следующее выражение:

.

Приравняв токи , получим, что . Заменив этим выражением напряжение , найдем передаточную функцию :

.

На основе рассмотренной типовой схемы можно получить различные фильтры. На рис. 145,а показана схема ФНЧ, а на рис. 145,б — ФВЧ второго порядка. Применительно к ФНЧ, проводимости, входящие в выражение для передаточной функции, будут равны: , , , , . Выражение для передаточной функции примет вид:

.

Полученную формулу делением на можно привести к нормированному виду (26). Это позволяет получить связь нормированных коэффициентов с элементами реальной схемы и рассчитать значения этих элементов:

.

Очевидно, что

, , .

Полученные выражения позволяют рассчитать номинальные значения всех элементов, входящих в схему, имея в качестве заданных коэффициенты , , и частоту среза . При этом номинальными значениями некоторых элементов задаются, а остальных — рассчитывают. В рассматриваемом случае можно задаться, например, сопротивлением двух резисторов.

а)	б)
Рис. 145	л23р5

В специальной литературе можно найти большое количество схем активных фильтров, построенных на ОУ с использованием RC-цепей. Обычно схемы сопровождаются расчетными соотношениями, позволяющими рассчитать номинальные значения компонентов схемы фильтра, исходя из задач, решаемых с помощью фильтра.

Дата добавления: 2015-07-14