Методические указания к решению задач 1 – 10.

Читайте также:

Аналитическая геометрия на плоскости

Задачи 1–10

Даны вершины треугольника: А(х₁; у₁), В(х₂; у₂), С(х₃, у₃).

Сделать чертеж и найти:

1) длину стороны АВ;

2) внутренний угол при вершине А;

3) уравнение высоты, проведенной через вершину С;

4) уравнение медианы, проведенной через вершину В;

5) точку пересечения медианы ВЕ и высоты СD;

6) длину высоты, опущенной из вершины С.

1. А (– 2; 2),	В (1; 6),	С (1; 1);
2. А (1;–1),	В (– 2; 3),	С (–3; 1);
3. А (2;– 4),	В (5; 0),	С (–1; 2);
4. А (2; 0),	В (–1; 4),	С (3; 2);
5. А (5;–1),	В (2; 3),	С (–3;– 2);
6. А (4; 1),	В (1;–3),	С (– 4; 2);
7. А (–1; 0),	В (2; 4),	С (3; 2);
8. А (2; – 2),	В (–1; 2),	С (4; 2);
9. А (3; 3),	В (0;–1),	С (4; 1);
10. А (1; 0),	В (4; 4),	С (–1; 4).

Методические указания к решению задач 1 – 10.

Приведём основные формулы аналитической геометрии на плоскости.

1. Основные формулы метода координат.

· Формула расстояния между двумя точками А(х_A;у_A) и В(х_B;у_B):

· Формула нахождения координат точки С – середины отрезка АВ:

2. Уравнения прямой на плоскости

Прямую линию на плоскости можно задавать различными способами, приведем некоторые их них.

Общее уравнение прямой:

Ax + By + C = 0,

Уравнение прямой с угловым коэффициентом k:

y = kx+b.

Если известны координаты двух различных точек А(х_A;у_A) и В(х_B;у_B) на прямой, то угловой коэффициент можно вычислить по формуле

· Уравнение прямой с заданным угловым коэффициентом k и проходящей через точку (x₀;y₀):

Если в этом уравнении менять k, то получим семейство прямых, проходящих через точку (x₀;y₀), которое называют «пучком прямых».

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки А(х_A;у_A) и В(х_B;у_B):

где .

Если , то прямая параллельна оси Oy, её уравнение: x = x_A.

Если , то прямая параллельна оси Ox, её уравнение: y = y_A.

Обратите внимание, что уравнение прямой, в каком бы виде оно ни было записано, является уравнением первой степени.

3. Взаимное расположение прямых.

Пусть k₁ и k₂ – угловые коэффициенты двух прямых.

Формула нахождения тангенса острого угла между прямыми:

· Условие параллельности прямых: .

· Условие перпендикулярности прямых: .

4. Положение точки относительно прямой.

Формула нахождения расстояния от точки М(x₀;y₀) до прямой

Ax + By + C = 0:

Точка М(x₀;y₀) лежит на прямой Ax + By + C = 0, если ее координаты удовлетворяют уравнению прямой, то есть справедливо равенство Ax₀ + By₀ + C = 0. Очевидно, что в этом случае d = 0.

Задача. Рассмотрим решение задачи, аналогичной задачам 1-10, если д аны вершины треугольника А(2;1), В(–4;4), С(–1,5).

Решение. Начнем решение задачи с выполнения чертежа (рис. 1). Построим точки А(2;1), В(–4;4), С(–1;5) в прямоугольной системе координат O xy и, соединив их, получим треугольник АВС. Проведем высоту СD и медиану ВЕ, уравнения которых необходимо найти. Обратите внимание, что , а точка Е – середина отрезка АС.

Рис. 1

1. Длину стороны АВ находим как расстояние между двумя точками А(2;1) и В(–4;4):

2. Отметим, что угол А в треугольнике является острым. Тангенс этого угла можно найти по формуле

Найдем угловые коэффициенты прямых:

Тогда,

С помощью калькулятора или по таблице Брадиса (см. приложение 3) определяем, что такое значение тангенса соответствует углу А 26,6⁰.

3. Уравнение высоты СD запишем в виде уравнения пучка прямых, проходящих через точку С:

По условию перпендикулярности СD и АВ:

Ранее (см. пункт 2) было найдено: .

Тогда,

Подставив в уравнение значение получим

у –5=2(х+1);

у –5=2х+2;

2х – у+7=0 – уравнение высоты СD.

Замечание. Всегда следует проверять полученные результаты, причем это делать надо не простым повторением действий, а каким-либо другим способом. Например, в полученное уравнение высоты СD подставьте координаты точки С, должно получится очевидное равенство.

4. Медиана ВЕ соединяет вершину В с точкой Е, которая является серединой отрезка АС. Координаты точки Е: