Интервалы прогноза

Прогнозирование в линейной регрессии

После построения уравнения регрессии, и проверки его значимости можно применять это уравнение для прогнозирования. Однако при этом существуют свои особенности.

Используя уравнение регрессии, можно получить предсказываемое значение результата (у_р) с помощью точечного прогноза при заданном значении фактора х_р, т.е. надо просто подставить в уравнение у (х) = а + b * х соответствующее значение х. Однако точечный прогноз не дает требуемых представлений, он практически нереален на практике, поэтому дополнительно необходимо осуществлять определение стандартной ошибки прогнозирования т_yx и интервальную опенку прогнозного значения.

Чтобы построить формулу стандартной ошибки прогно­зирования, подставим в уравнение линейной регрессии зна­чение параметра а, тогда оно примет следующий вид:

Из этой формулы следует, что стандартная ошибка про­гнозирования зависит от ошибки у и ошибки коэффициен­та регрессии Ь:

Используя в качестве Ϭ² остаточную дисперсию на одну степень свободы S² и подставляя значение ошибки параметра b, получаем следующую формулу:

Отсюда стандартную ошибку прогнозирования можно рассчитать по формуле

Полученная формула стандартной ошибки предсказываемого среднего значения результата при заданном х_p характеризует ошибку положения линии регрессии. Величина , (см. формулу) достигает минимума при х_р = и возрастает по мере удаления от в любом направлении. Чем больше разность между х_р и , тем больше ошибка ,с которой предсказывается среднее значение результата для заданного х_p.

Наилучших результатов прогноза можно ожидать, если признак-фактор х находится в центре области всех наблюдений х, а при удалении х_з от хороших результатов прогноза не будет, Если же значение х_p оказывается за пределами наблюдаемых значений х, используемых при построении линейной регрессии, то результаты прогноза ухудшаются в зависимости от того, насколько х_p отклоняется от области наблюдаемый значений факторах.

На рис. 2.4 доверительные границы для у_p представляют собой гиперболы, расположенные по обе стороны от линии регрессии {1,2 — верхняя и нижняя границы доверительным интервалов, 3 — линия уравнения регрессии, 4 — доверительный интервал для х). При удалении х_p от размах доверительного интервала увеличивается.

Однако фактические значения у варьируют около среднего значения . Индивидуальные значения у могут отклоняться от у_х на величину случайной ошибки, дисперсия которой оценивается как остаточная дисперсия на одну степень свободы S². В связи с этим ошибка прогнозируемого индивидуального значения результата должна включать не только стандартную ошибку т_yp, но и случайную ошибку S:

Доверительный интервал для прогнозируемого значения рассчитывается следующим образом:

где

- предельная ошибка прогноза

Дата добавления: 2015-07-14