Ламинарный режим

Глава 4. РЕЖИМЫ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ

Основные понятия

Возьмём прозрачную трубу, в которой с небольшой скоростью V₁ течёт прозрачная жидкость, например, вода. В этот поток поместим небольшие, существенно меньшие, чем диаметр потока, трубки. В трубках под напором находится подкрашенная жидкость, например, цветные чернила. В таком случае в потоке будут возникать разноцветные струйки, причём цветная жидкость будет явно показывать распределение скоростей (эпюра скоростей) по сечению потока. Это распределение будет соответствовать рассмотренной ранее струйной модели потока. Если наблюдать за движением жидкости, то можно ясно видеть, что при перемещении от сечения 1 к сечению 2 картина распределения скоростей будет оставаться постоянной, а движение жидкости будет слоистым, плавным, все струйки тока будут параллельны между собой. Такое движение носит название ламинарное (от латинского слова lamina - слой).

Если увеличивать скорость течения жидкости, то такой характер движения будет реализовываться до некоторой критической скорости, после превышения которой течение потока становится неспокойным, с постоянным вихреобразованием. Цветные струйки размываются вплоть до полного перемешивания с основным потоком. Такое течение жидкости называется турбулентным (от латинского слова turbulentus - возмущённый, беспорядочный).

Ламинарный режим имеет место при движении жидкослтей боьшой вязкости (смазочные масла, мазут, нефть), при фильтрации воды в порах грунта и т.д.

Турбулентный режим встречается чаще (системы водоснабжения, каналы, русла и т.д.).

Впервые экспериментальные исследования о существовании двух режимов движения жидкости и условий их смены были проведены английским ученым О. Рейнольдсом, результаты которых были опубликованы в 1883 г.

На основании опытов и анализа размерностей О. Рейнольдс предложил безразмерный критерий, который впоследствии был назван числом Рейнольдса:

,

где v – средняя скорость движения жидкости, d – диаметр трубы, r - плотность жидкости, m - коэффициент динамической вязкости.

Учитывая , критерий Рейнольдса принимает вид:

,

где n - коэффициент кинематической вязкости.

Вместо диаметра в критерий Рейнольдса может входить другой линейный параметр, являющийся характерным для рассматриваемого течения.

Для труб некруглой формы характерным линейным размером является гидравлический радиус , или эквивалентный диаметр: d_э = 4R. Тогда число Рейнольдса можно записать:

или .

На основании опыта для круглых труб при напорном движении критическое число Рейнольдса, при котором происходит смена режима движения равно Re = 2300. Таким образом, в напорных трубах при Re < 2300 реализуется ламинарный режим движения, а при Re > 2300 – турбулентный.

С точки зрения физики критерий Рейнольдса можно рассматривать, как отношение сил инерции F к силам трения.

Ламинарный режим

Рассмотрим ламинарный режим при равномерном движении жидкости в трубе. Рассматриваем сформировавшийся поток с устойчивым распределением скоростей. Ламинарный режим является слоистым течением без перемешивания. перемещение частиц происходит только в осевом направлении. Механизм движения можно представить в виде телескопического выдвижения цилиндров разного диаметра послойно друг из друга. Слои параллельны оси трубы и движутся с разными скоростями, ускоряя или тормозя друг друга из-за трения между слоями и прилипания к стенкам трубы.

Рассмотрим данную схему и запишем основное уравнение равномерного движения для внутреннего цилиндра радиуса r:

или

, (1)

где t - касательное напряжение, i – гидравлический уклон. Эпюра касательных напряжений приведена на схеме.

Касательные напряжения t на боковой поверхности цилиндра в соответствии с законом внутреннего трения Ньютона:

. (2)

Знак "минус", так как в направлении оси r скорость уменьшается.

Из (2) и (1) следует:

,

.

Интегрируем:

.

Постоянную интегрирования С определяем из граничных условий на стенке трубы:

u = 0 при r = r₀.

Получим:

.

Тогда скорость по окружности радиуса r:

.

Это уравнение параболы. Эпюра скоростей приведена на схеме.

На оси трубы при r = 0 скорость будет максимальной:

.

Тогда распределение скоростей имеет вид:

. (3)

Определим расход жидкости при ламинарном движении в круглой трубе. Элементарный расход через концентрический слой толщиной dr, расположенный на расстоянии r от трубы:

.

Интегрируем и получаем расход:

.

Разделим полученное равенство на площадь и определим среднюю скорость:

. (4)

Сравнивая с максимальной скоростью, получим:

. (5)

На основании (3) и (5) вычислим коэффициент Кориолиса:

Потери напора на трение h_l найдем, воспользовавшись выражением , выражая i из (4) и учитывая :

.

Так как , то

.

Обозначив - коэффициент сопротивления трения, получим

.

Это формула Дарси-Вейсбаха.

Формула Дарси-Вейсбаха будет использоваться и для турбулентных режимов. Расчетное значение коэффициента l при Re<2300:

.

Учитывая искажения поперечного сечения трубы, теплообмен с окружающей средой, в практических расчетах рекомендуется коэффициент сопротивления трения вычислять по формуле:

.

Потери напора при ламинарном движении прямо пропорциональны скорости движения.

Полученные теоретические результаты хорошо согласуются с данными экспериментов для участков труб с вполне развитым ламинарным и равномерным движением. Это условие не выполняется на начальном участке трубы, на котором происходит формирование устойчивого профиля скоростей по сечению трубы. Для определения длины этого участка можно пользоваться формулой: . При подстановке Re = 2300 получаем максимально возможную длину начального участка при ламинарном движении, равную 66,5d.

Потери энергии на этом участке будут несколько больше, чем в остальной части трубы. С учётом этого формула для расчёта потерь напора на трение h_l при ламинарном движении в круглых гладких трубах принимает вид:

.

Дата добавления: 2015-07-14