Положение точки в пространстве. Способы описания движения тела

Чтобы описать механическое движение тела (точки), нужно знать его координаты в любой момент времени. Для определения координат следует выбрать тело отсчета и связать с ним систему координат. Часто телом отсчета служит Земля, с которой связывается прямоугольная декартова система координат. Для определения положения точки в любой момент времени необходимо также задать начало отсчета времени.

Система координат, тело отсчета, с которым она связана, и прибор для измерения времени образуют систему отсчета, относительно которой рассматривается движение тела.

Если тело отсчета выбрано, то относительно него положение точки можно задать с помощью координат или радиус-вектора.

Рассмотрим эти два способа задания положения точки.

1 способ. Задание положения точки с помощью координат. Из курса математики вы знаете, что положение точки на плоскости можно задать с помощью двух чисел, которые называются координатами этой точки. Для этого, как известно, можно на плоскости провести две пересекающиеся взаимно перпендикулярные оси, например оси ОХ и ОY. Точку пересечения осей называют началом координат, а сами оси - координатными осями.

Положение точки М в пространстве относительно тела отсчета можно задать с помощью трех координат. Чтобы это сделать, необходимо через выбранную точку тела отсчета провести три взаимно перпендикулярные оси ОХ, ОY, ОZ. В полученной системе координат положение точки будет определяться тремя координатами х, у, z.

(Если число Х положительно, то отрезок откладывается в положительном направлении оси ОХ. Если же число х отрицательно, то отрезок откладывается в отрицательном направлении оси ОХ. Из конца этого отрезка проводят прямую, параллельную оси ОY, и на этой прямой откладывают отрезок от оси ОХ, соответствующий числу Y - в положительном направлении оси ОY, если число у положительно, и в отрицательном направлении оси ОY, если число у отрицательно.

Далее из точки В другого отрезка проводят прямую, параллельную оси ОZ. На этой прямой от координатной плоскости ХОY откладывают отрезок, соответствующий числу Z. Направление, в котором откладывают этот отрезок, определяют так же, как и в предыдущих случаях.

Конец третьего отрезка и есть та точка, положение которой задается координатами х, у, z.)

Прямоугольная система координат используется для описания положения тела на плоскости, трехмерная – в пространстве, координатный луч – если тело находится или движется по прямой.

2 способ. Задание положения точки с помощью радиус-вектора.

Положение точки можно задать не только с помощью координат, но и с помощью радиус-вектора. Радиус-вектор - это направленный отрезок, проведенный из начала координат в данную точку.

Радиус-вектор принято обозначать буквой r. Длина радиус-вектора, или, что одно и то же, его модуль есть расстояние от начала координат до точки А.

Положение точки будет определено с помощью радиус-вектора только в том случае, если известны его модуль (длина) и направление в пространстве. Лишь при этом условии мы будем знать, в каком направлении от начала координат следует отложить отрезок длиной r, чтобы определить положение точки.

Положение точки на сфере удобнее всего задавать так, как это делается в географии. На данной сфере радиуса R выберем какие-нибудь две диаметрально противоположные точки, одну из них - N назовем условно северным полюсом, другую - S - южным. Какой-нибудь из "меридианов" (кратчайший путь по сфере из S в N) назовем начальным меридианом; проходящую через центр О сферы и перпендикулярную оси SN плоскость назовем экваториальной, а пересечение ее со сферой - экватором, на экваторе изберем направление, скажем, против часовой стрелки, если смотреть из N. Положение любой точки М на сфере определяется двумя координатами, одна из них, назовем ее долготой, - угол ф между плоскостью начального меридиана и плоскостью, проходящей через М и ось SN (угол должен отсчитываться в направлении, соответствующем выбранному на экваторе). Широтой точки М будем называть угол 8 между радиусом ОМ и плоскостью экватора (0 считается положительным для точек северного полушария и отрицательным для южного). Будем писать: М (ф; 6), ставя на первое место долготу, на второе - широту.

Пример. Проверьте правильность координатного обозначения точек на рис. 21.

Рис. 21.

Все точки с одинаковой долготой ф0 заполняют меридиан, уравнение которого поэтому ф=ф0. Все точки с одинаковой широтой 6о заполняют параллель 0 = 00. Уравнение, связывающее текущие координаты ф и 0, определяет, как и в плоской геометрии, кривую; неравенство, соответствующее этому уравнению, определяет одну или несколько областей, на которые эта кривая разделяет сферу. Так, неравенство 0<0 определяет южную полусферу, 0>0 -северную; уравнение 0=0 есть уравнение экватора.

Если сферу отнести к декартовым координатам в пространстве, приняв центр О сферы за начало, ось SN - за ось z, ось х направив через точку <0°; 0°>, ось у - через <90°; 0°>, то декартовы координаты х, у, г любой точки М сферы легко выразить через долготу и широту этой точки. Для этого выразим сначала координаты ее проекции М1 на плоскость Оху, где обычным образом расположим полярную систему координат. Из рис. 21 видно, что для M1 (х; у; 0) полярный радиус r = Rcos0, а полярный угол ср совпадает с долготой точки М. Кроме того, z = R sin 6. Учитывая формулы (11), получим:

По этим формулам вычисляют декартовы координаты точки М (х; у,z), если известны ср и 9.

На эти же формулы можно взглянуть и с другой точки зрения. Будем считать ср и 6 переменными, придавая им всевозможные значения в естественных пределах 0°<ф<360°, -90°=<0=<+90°; тогда точка М (ф;0) будет перемещаться по сфере, занимая всевозможные положения. Это напоминает параметрические уравнения линии, в которых декартовы координаты х, у, я выражены через один переменный параметр t. Разница лишь в том, что теперь х, у, z выражены через два параметра, поэтому получается не линия (одномерное образование), а поверхность (образование двумерное). Подобные уравнения называют параметрическими уравнениями поверхности; переменные параметры чаще всего здесь обозначают буквами и и v. Итак, параметрические уравнения сферы запишем в виде:

Если из этих уравнений исключить параметры и, V (для этого проще всего возвести уравнения (13) в квадрат и сложить), получим обычное уравнение сферы: х2+y2 + z2 = R2.

Дата добавления: 2015-07-14