Параметры средней арифметической

Средняя арифметическая сама по себе ничего не говорит о том вариационном ряде, из которого она была вычислена. На ее типичность влияют несколько факторов таких как, например, однородность рассматриваемого материала, колеблемость вариационного ряда.

Пусть даны 2 ряда данных измерений веса мальчиков, одинаковых по числу детей в возрасте 7 лет.

Вес в кг (V)	Число лиц (P)	Вес в кг (V)	Число лиц (P)
	n = 39
			n = 39

Имея одинаковое число наблюдений (39) и одинаковые средние арифметические (M = 25 кг), ряды имеют различия и в распределении внутри. Так, варианты первого ряда отклоняются в целом от средней арифметической с меньшим значением, чем варианты второго ряда, что дает возможность предположить, что средняя арифметическая (25 кг) боле типична для первого ряда, чем для второго.

В статистике для характеристики колеблемости ряда употребляют среднее квадратическое отклонение (s), которое определяется по формуле:

где	Σ d^2×P	- момент второй степени
n

d - отклонение от средней арифметической

Формула при расчете среднего квадратического отклонения по способу моментов имеет следующий вид:

где d - отклонение от условной средней арифметической.

Таким образом, среднее квадратическое отклонение равно корню квадратному из разности момента второй степени и квадрата момента второй степени.

Пользуясь приведенной выше формулой, рассчитаем среднее квадратическое отклонение, по ранее взятому примеру:

V	P	d	d´P	d	d^2´P
		- 6	- 24
		- 3	- 69
	n = 94		S d´P = - 6		S d^2´P = 684

Теоретически и практически доказано, что в условиях нормального распределения, если к средней арифметической прибавить и отнять 1s (M + 1s), то в пределах полученных величин будет находится 68,3% всех членов вариационного ряда.

Если у средней арифметической прибавить и отнять 2s (M±2s), то в пределах полученных величин будет находиться 95,5% всех вариантов. М±3s включает в себя 99,7% всех членов вариационного ряда.

Указанное положение широко применяется при выработке различных стандартов (одежды, обуви, данных физического развития, школьной мебели и т.д.).

Полученная средняя арифметическая (М) при повторных исследованиях под влиянием случайных явлений может изменяться на ту или иную величину. Мерой такой изменчивости служит средняя ошибка средней арифметической (m), которая определяется по формуле:

Средняя ошибка средней арифметической прямо пропорциональна средней колеблемости ряда и обратно пропорциональна числу наблюдений.

В рассматриваемом выше примере средняя ошибка средней арифметической равна:

При малом числе наблюдений (менее 30 случаев, так называемая малая выборка) средняя ошибка определяется по формуле:

Установлено, что полученный средний результат при повторных наблюдениях, даже при одинаковых условиях, будет, в силу случайных колебаний отличаться от предыдущего результата. Теорией статистики установлена степень вероятности, с которой можно ожидать, что эти колебания не выйдут за пределы доверительного интервала М±t×m.

В научно-исследовательской практике, с целью выявления, например, преимущества одного метода лечения перед другим, часто бывает необходимо провести сравнение средних величин.

Для оценки достоверности разности двух средних величин пользуются формулой Стьюдента:

где М₁ и М₂ - сравниваемые средние величины,

m₁ и m₂ - средние ошибки средних величин.

Разность считается достоверной, если число наблюдений, из которого определены средние величины, больше 100, то значение формулы должно быть не менее 2,6; если число наблюдений меньше чем 100, но больше 30, значение формулы должно быть не менее 3; если число наблюдений меньше 30, то достоверность разности двух средних величин определяется по таблице Стьюдента.

Пример: требуется определить достоверность разности показателей (средний балл успеваемости) студентов медицинского института, которая выразилась у мужчин 3,86 баллов (при m±0,04), у женщин 4,03 (m±0,04).

Таким образом, в данном случае разность между средними величинами, как превышающая среднюю ошибку разности в 3 раза существенна, т.е. достоверна.

Кроме рассмотренных выше величин, характеризующих вариационный ряд (М, σ, m), в статистике существует величина, которая также, как и среднее квадратическое отклонение, характеризует колеблемость вариационного ряда. Эта величина носит название коэффициента вариации.

Если среднее квадратическое отклонение выражает колеблемость вариационного ряда в именованных числах (кг, см), т.е. в таких, в каких выражена средняя величина (М), то для целей сравнения колеблемости двух вариационных рядов, выраженных в различных единицах измерения, необходимо пользоваться коэффициентом вариации, выраженном в относительных величинах.

Например: необходимо сравнить колеблемость двух вариационных рядов, выраженных в различных единицах.

V (рост, см)	P (число лиц)	V (вес, кг)	P (число лиц)
	n = 56		n = 94

М1 = 131,97	σ = ±3,59	М1 = 33,94	σ = ±2,7
Cv = 3,59×100/131,97 = 2,7%	Cv = 2,7×100/33,94 = 7,9%

Сравнивая коэффициенты вариации, можно сделать вывод, что колеблемость вариационного ряда, выражающего изменения веса, больше, чем колеблемость ряда, характеризующего рост.

Если коэффициент вариации находится в пределах до 10%, это свидетельствует о слабой вариабельности признака, 10-20% - о средней, более 20% - о сильной вариабельности признака в вариационном ряду.

Коэффициент вариации применяется также и в том случае, если необходимо сравнивать колеблемость двух вариационных рядов выраженных в одинаковых единицах измерения, но средние арифметические этих рядов отличаются друг от друга на большую величину. Например, при необходимости сравнения колеблемости ряда, определяющего рост у новорожденных, и ряда, определяющего рост у взрослых людей, необходимо пользоваться коэффициентом вариации.

Дата добавления: 2015-07-14