Расчет вероятностей с помощью правил сложения и умножения

Совмещением А·В двух событий А и В называют общую часть множеств исходов, составляющих события А и В (в результате испытания происходят оба события: А и В). Условной вероятностью Р (В/А) называется вероятность события В при условии осуществления события А. Вероятность совмещения двух событий находится по формуле

P (А·В) = P (A) · P (B/A).

(1.2)

Вероятность совмещения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого.

Пример 1.2. Студент знает правильный ответ на 20 экзаменационных вопросов из 30. Какова вероятность того, что он:
а) знает ответ на два заданных ему вопроса;
б) не знает ответа на оба заданных ему вопроса?
Решение: Пусть событие А = {студент знает ответ на первый вопрос}, В = {студент знает ответ на второй вопрос}. Р (А) = 20/30. Р (В/А) = 19/29 (из 29 оставшихся вопросов студент знает ответ на 19, так как на один из известных ему вопросов он уже ответил). Тогда Р (А · В) = Р (студент знает два вопроса) = Р (А) · Р (В/А) =
Пусть событие С = {студент не знает ответ на первый вопрос}, D = {студент не знает ответ на второй вопрос}. Р (С) = 10/30. Р (С/D) = 9/29 (из 29 оставшихся вопросов студент не знает ответ на 9, так как на один из вопросов он уже не ответил). Тогда Р (А · В) = Р (студент не знает два вопроса) = Р (А) · Р (В/А) =
Формула (1.2) обобщается для трех событий А, В, С:

P (А · В · C) = P (A) · P (B/A) · P (C /(A · В)).

(1.3)

Пример 1.3. Из колоды в 52 карты случайным образом берут 3 карты. Найти вероятность того, что все три карты – тузы (событие D).
Решение: D = А · В · С, где А = {первая карта – туз}, В = {вторая карта – туз}, С = {третья карта – туз}. В силу равной возможности исходов, обеспеченной перемешиванием карт, здесь можно воспользоваться классической формулой (1.1), как для расчета безусловных, так и для расчета условных вероятностей. Р (А) = 4/52 (в колоде из 52 карт 4 туза), Р (В/А) = 3/51 (осталась 51 карта, среди них – 3 туза), Р (С /(А · В)) = 2/50 (осталось 50 карт, среди них – 2 туза). Тогда по формуле (1.3)
Р (D) = Р (три туза) = 4/52 · 3/51 · 2/50 = 0,00018.
Суммой случайных событий А и В называется событие С, соответствующее объединению множеств А и В (С = А + В). В этом случае можно сказать, что произойдет хотя бы одно из событий А и В (или только событие А, или только событие В, или оба вместе).
События А и В называются несовместными, если они не могут произойти одновременно при одном и том же испытании, т. е. если пересечение множеств А и В пусто. Для несовместных событий А и В

P (А + В) = P (A) + P (B).

(1.4)

Суммой случайных событий А ₁, А ₂,..., А_n называется событие, соответствующее объединению множеств А ₁, А ₂,..., А_n. Здесь также можно сказать, что суммой событий является событие при котором произойдет хотя бы одно из указанных событий.
Формула (1.4) обобщается для попарно несовместных событий А ₁, А ₂,..., А_n:

(1.5)

Пример 1.4. Мишень состоит из центрального круга – “яблочка” и двух концентрических колец. Вероятности попадания в “яблочко” и кольцо соответственно равны 0,2; 0,25; 0,35. Найти вероятность попадания в мишень (событие D).
Решение: Событие А ₁ = {попадание в “яблочко”}, А _2,3 = {попадание в одно из колец} попарно несовместны и D = А ₁ + А ₂ + А ₃. По правилу сложения вероятностей Р (А ₁ + А ₂ + А ₃) = Р (А ₁) + Р (А ₂) + Р (А ₃) = 0,2 + 0,25 + 0,35 = 0,8.
События А ₁, А ₂,..., А_N образуют полную группу, если они попарно несовместны и одно из них обязательно должно произойти при рассматриваемом испытании, т. е. их сумма есть достоверное событие:
А ₁ + А ₂ +... + А_N = Ω.
При этом

P (Аi) = P (А 1 +... + АN) = 1.

(1.6)

Два события A и Ā называются противоположными, если они образуют полную группу: A + Ā = Ω (при этом появление одного из них равносильно непоявлению другого). Так как P (A) + P (Ā) = 1, то по вероятности одного из противоположных событий можно находить вероятность другого:

P (A) = 1 – P (Ā), P (Ā) = 1 – P (A).

(1.7)

1.1.3 Независимость случайных событий

Для двух независимых событий А и В правило умножения вероятностей имеет вид:

P (A · B) = P (A) · P (B).

(1.8)

Сравнивая с формулой (1.2), видим, что их условные вероятности равны безусловным, т. е.
P (B/A) = P (B); P (A/B) = P (A).
Формула (1.8) может быть обобщена на независимые в совокупности события А ₁, А ₂,..., А_n:

P (А 1 · А 2 ·... · Аn) = P (А 1) · P (А 2) ·... · P (Аn),

(1.9)

вероятность их совмещения равна произведению вероятностей.
Рассмотрим примеры, где применяются правила сложения и умножения независимых событий. Отметим одно полезное при решении задач свойство: если события А и В независимы, то будут независимыми следующие пары событий: 1) А и ; 2) Ā и В; 3) Ā и и тогда

P (Ā · B) = P (Ā) · P (B);

(1.10)

Пример 1.5. Два стрелка стреляют по мишени независимо друг от друга по одному разу. Вероятности попадания равны: для первого стрелка Р (А ₁) = 0,7, для второго стрелка Р (А ₂) = 0,8. Найти вероятности событий:
а) в мишени ровно одна пробоина (событие С);
б) мишень поражена (событие D)
Решение: а) Событие С = (попадет или только первый стрелок { C ₁} или только второй стрелок { C ₂}) = C ₁ + C ₂, где события C ₁ и C ₂ несовместны и по правилу сложения (1.4) Р (С) = Р (C ₁) + Р (C ₂).
Событие C ₁ = A ₁ · Ā ₂ (первый стрелок попал, второй не попал), в силу независимости событий А ₁ и А ₂ (по условию задачи), будут независимыми события А ₁ и Ā ₂ и
Р (C ₁) = Р (A ₁· Ā ₂) = Р (A ₁) · Р (Ā ₂) = 0,7(1 – 0,8) = 0,7 · 0,2 = 0,14.
Аналогично, C ₂ = A ₂ · Ā ₁ (второй стрелок попал, первый – не попал) и Р (C ₂) = Р (A ₂· Ā ₁) = Р (А ₂) · Р (Ā ₁) = 0,8(1 – 0,7) = 0,8 · 0,3 = 0,24. Тогда Р (С) = Р (C ₁) + Р (C ₂) = 0,14 + 0,24 = 0,38.
б) Событие D = {мишень поражена} = {попадет хотя бы один стрелок} = А ₁ + А ₂ (попадет или первый стрелок, или второй стрелок, или оба вместе), где события А ₁ и А ₂ совместны и, обратите внимание, правило (1.4) применять нельзя. Перейдем к противоположному событию .
= {мишень не поражена} = Ā ₁ · Ā ₂ = (первый стрелок не попал и второй стрелок не попал), где Ā ₁ и Ā ₂ – независимые события. Тогда = (1 – 0,7)(1 – 0,8) = 0,3 · 0,2 = 0,06.
Р (D) = 1 – Р () = 1 – 0,06 = 0,94.
Для вычисления вероятности появления хотя бы одного из событий А ₁, А ₂,..., А_n можно найти сначала вероятность противоположного события, которое заключается в том, что не произойдет ни одно из указанных событий. Это событие соответствует совмещению событий, противоположных рассматриваемым: Ā ₁ · Ā ₂ ·... · Ā_n.
Окончательная формула будет:

Р (А 1 + А 2 +... + Аn) = 1 – Р (Ā 1 · Ā 2 ·... · Ān).

(1.11)

Независимость трех событий А, В и С в совокупности означает выполнимость четырех условий:

(1.12)

Пример 1.6. Три элемента в системе работают независимо друг от друга. Вероятности безотказной работы равны: для первого элемента Р (А ₁) = 0,6; для второго элемента Р (А ₂) = 0,7; для третьего элемента Р (А ₃) = 0,8. Найти вероятности следующих событий – в системе будут работать безотказно:
а) только один элемент (событие В);
б) только два элемента (событие С);
в) все три элемента (событие D);
г) хотя бы один элемент (событие F).
Решение: а) Событие B = А ₁ · Ā ₂ · Ā ₃ + А ₂ · Ā ₁ · Ā ₃ + А ₃ · Ā ₁ · Ā ₂ (один элемент работает, при этом два других не работают). В силу независимости событий А ₁, А ₂, А ₃ по правилам сложения и умножения вероятностей
Р (B) = Р (A ₁) · Р (Ā ₂) · Р (Ā ₃) + Р (A ₂) · Р (Ā ₁) · Р (Ā ₃) +
+ Р (A ₃) · Р (Ā ₁) · Р (Ā ₂) = 0,6 · 0,3 · 0,2 + 0,7 · 0,4 · 0,2 + 0,8 · 0,3 · 0,4 =
= 0.036 + 0,0556 + 0,096 = 0,188.
б) Событие C = A ₁ · A ₂ · Ā ₃ + A ₂ · A ₃ · Ā ₁ + A ₁ · A ₃ · Ā ₂ (два элемента работают, при этом третий не работает)
Р (C) = Р (A ₁) · Р (A ₂) · Р (Ā ₃) + Р (A ₁) · Р (A ₃) · Р (Ā ₂) +
+ Р (A ₂) · Р (A ₃) · Р (Ā ₁) = 0,6 · 0,7 · 0,2 + 0,6 · 0,8 · 0,3 + 0,7 · 0,8 · 0,4 =
= 0.084 + 0,144 + 0,224 = 0,452.
в) D = A ₁ · A ₂ · A ₃ и по правилу (1.9) для независимых событий:
Р (D) = Р (A ₁) · Р (A ₂) · Р (A ₃) = 0,6 · 0,7 · 0,8 = 0,336.
г) = {все три элемента не работают} = Ā ₁ · Ā ₂ · Ā ₃.
Р () = 0,4 · 0,3 · 0,2 = 0,024; Р (F) = 1 – Р () = 1 – 0,024 = 0,976.

Дата добавления: 2015-07-14