Клотоида

Клотоида или Спираль Корню — кривая, у которой кривизна изменяется линейно как функция длины дуги.

Она используется как переходная дуга в дорожном строительстве. Когда участок дороги имеет форму клотоиды, руль поворачивается равномерно. Такая форма дороги позволяет преодолевать поворот без существенного снижения скорости.

Клотоида применялась Корню для облегчения расчёта дифракции в прикладных задачах.

[править]Свойства

· Параметрически клотоида может быть представлена через интегралы Френеля:

· Клотоида имеет бесконечную длину.

· 1. Основные понятия и определения

· Клотоида (или спираль Корню, или спираль Эйлера) названа по имени французского физика XIX в. А. Корню. Главной особенностью этой спирали (рис. 1) является то, что ее кривизна прямо пропорциональна длине пройденного по ней пути. В отличие от других спиралей клотоида обладает важным свойством: радиус ее кривизны начинается от бесконечности и стремится к нулю, приближаясь к своей асимптоте, а кривизна стремится к своей идеальной форме - кругу.

·

·

·

Рис.1

· Клотоида состоит из двух ветвей, симметрично расположенных относительно начала координат. Точки A и B являются ассимтотическими.

· При строительстве железных и шоссейных дорог возникает необходимость связать прямолинейные участки с участками пути, где средства транспорта движутся по дугам окружностей. При этом важно, чтобы кривизна пути изменялась равномерно, и спираль Корню является идеальной переходной кривой для закругления железнодорожного пути. При этом прямой участок пути должен переходить в дугу спирали Корню, начиная с ее центра. А с путем по окружности спираль Корню стыкуется в той ее точке, где ее кривизна равняется кривизне данной окружности.

· Итак, клотоида – кривая, у которой кривизна изменяется линейно как функция длины дуги.

· Параметрически клотоида может быть представлена через интегралы Френеля:

· . (1)

· Интегралы Френеля S (x) и C (x) – это специальные функции, названные в честь Огюстена Жана Френеля и используемые в оптике. Они возникают при расчёте дифракции Френеля и определяются следующим образом:

· , . (2)

· Интегралы Френеля не выражаются через элементарные функции, кроме частных случаев. То есть они являются одним из примеров так называемых «неберущихся» интегралов. При вычислении производной, наличие формул для производной суммы, разности, произведения, частного и композиции – всех тех операций, при помощи которых элементарные функции образуются из минимального набора – приводит к тому, что производная любой элементарной функции снова является элементарной функцией. При нахождении неопределённых интегралов, однако, формул для первообразной произведения, частного и композиции нет. Это приводит к такому положению, что отнюдь не для любой элементарной подынтегральной функции можно «взять интеграл», то есть выразить некоторую первообразную для подынтегральной функции в виде некоторого выражения, использующего лишь элементарные функции. Дело не в том, что пока не придумано способа это сделать. В науке и её приложениях в технике, экономике и других дисциплинах применяются многие неэлементарные функции; часто их, как и интегралы Френеля, называют специальными.

· 2. Методы построения клотоиды

· 2.1. Классические подходы к построению клотоиды

· Вычисление интегралов Френеля возможно только численными методами. Для этого существуют специальные алгоритмы численного интегрирования.

· Одним из способов решения этой задачи есть использование кусочной аппроксимации рациональными функциями. Как правило, интегралы Френеля представляют в виде рядов:

·

· Количество членов в этих рядах при программировании необходимо выбирать из требуемой точности при решении конкретной прикладной задачи.

· Также, иногда для интегралов Френеля применяют асимптотическое представление при больших х:

·

·

· При использовании всех этих методов возникают трудности при решении задач компьютерного моделирования железнодорожных путей, а так же в задачах автоматизированного проектирования реконструкции плана железнодорожного полотна, поэтому необходимо искать другие подходы к методам построения этих кривых.

Дата добавления: 2015-07-12