Логический путь познания

Естественный язык менее определёнен и заведомо неоднозначен, хотя он и богаче логического. Поэтому к логике прибегают всегда, ког­да в процессе общения на естественном языке возникают затруднения. Логические построения по своей сути просты и однозначны. С их по­мощью (путем тавтологических преобразований типа «а есть а») мы проверяем, обозначают ли разные высказывания одно и то же, т. е. тождественны ли они друг другу. Подобные построения однозначно по­нимаемы даже лишенным разума компьютером. Отказ от логики равно­силен отказу от выявления одинаковых утверждений, а значит, и от ис­пользования естественного языка. Хотя бы потому, что только с помо­щью отождествления можно убедиться, что высказанная мною мысль правильно понята собеседником. Без отождествления невозможна об­ратная связь, невозможно осуществление продуктивной коммуникации.

Многие блестящие философы от античности до наших дней были уверены: логика необходима человеку для того, чтобы лучше понять самого себя. Человек только тогда сможет правильно построить свою жизнь и судьбу, считали они, когда его поведение будет логически оп­равдано. В истории философии такой подход часто связывают с рацио­нализмом, который оказал огромное влияние на развитие культуры и становление современного западного общества. Возможно, даже излиш­нее влияние — ведь, к сожалению, заведомо обречены на неудачу по­пытки строго логически всё объяснить. Дело в том, что любая логиче­ская система изначально содержит в себе тьму неопределяемых и недо­казанных утверждений.

Для того, например, чтобы оценить логическую правильность ка­кого-либо высказывания, следует предварительно договориться по ши­рокому кругу вопросов, лежащих за пределами логики как таковой:

— об исходном словаре — наборе слов или символов, не имеющих никакого определения, ибо для того чтобы дать какие-нибудь оп­ределения, уже нужны какие-то слова ^]. (Как заметил Д. Гильберт, исходные начальные слова не должны иметь никакого смысла:

' Ср.; «Набор начальных слов я называю «минимальным словарём» данной науки, если только а) каждое иное слово, употребляемое в науке, имеет определение с помо­щью слов этого минимального словаря и б) ни одно из этих начальных слов не имеет определения с помощью других начальных слов». Рассел Б. Человеческое познание. Его сфера и границы. Киев, 1997, с. 260.

«Надо, чтобы такие слова, как точка, прямая, плоскость, во всех предложениях геометрии можно было заменить, например, сло­вами стол. стул. пивная кружка» ¹);

— о грамматике — наборе правил, позволяющих связывать эти слова или символы в правильно построенные предложения (в логике и математике обычно говорят о правильно построенных формулах);

— об аксиоматике — наборе не требующих доказательств само­очевидных истин;

— об энциклопедии — наборе предложений, истинных на основе внелогических (прежде всего, эмпирических) оснований²;

— наконец, о способах доказательства — о правилах преобразова­ния предложений, позволяющих из принятых за истину предло­жений выводить другие истинные, правильно построенные пред­ложения.

Выбор всех этих слов, правил и аксиом сам по себе с логической точки зрения произволен (ссылка на очевидность ничего не решает). Он не может быть доказан (в том числе и потому, что непонятно, как доказывать то, что и так очевидно). Е. Вигнер удачно определил мате­матику как «науку о хитроумных операциях, производимых по специ­ально разработанным правилам над специально придуманными поня­тиями»³. Единственное требование, которое ограничивает произвол, — система должна быть непротиворечивой: в ней не должно быть ни са­мопротиворечивых аксиом, ни противоречий между аксиомами. Логи­ко-математические науки, прежде всего, претендуют именно на фор­мальную правильность и непротиворечивость своих рассуждений, а не на их истинность (если истину понимать как соответствие действитель­ности). Так, если принять, что все рыбы — красные и что все игроки в домино — рыбы, то можно сделать формально безупречный вывод, ра­зумеется, не претендующий на истинность как на соответствие дей­ствительности: игроки в домино — красные.

Кстати, естественные науки включают в себя логику, и именно поэтому вынуждены иметь дело с исходно неопределяемыми (а потому

' Цит. по Вейль Г. Математическое мышление. М., 1989, с. 237

² Я надеюсь, что позволил себе не слишком вольную трактовку позиции, восхо­дящей к Д. Гильберту. Введение эмпирических истин в логическую систему опирается на признание многих математиков, считающих, что «есть по крайней мере два различ­ных сорта истинных научных предложений: с одной стороны, эмпирические истины и, с Другой - математические и логические» — см. Френкель А., Бар-Хиллел И. Основа­ния теории множеств. М., 1966, с. 198.

³ Вигнер Е. Этюды о симметрии. М., 1971, с. 183-184.

необъяснимыми) терминами. К. Хюбнер говорит о «свободе выбора ап­риорных установлений» в естественной науке '. А. Шопенгауэр в этой необъяснимости исходных терминов и аксиом видит бессилье естествен­ных наук, тогда как такое положение дел — неизбежное следствие при­менения логики. Вот как рассуждал Шопенгауэр: естественная наука (этиология, в его терминологии) раскрывает закономерный порядок, ука­зывает явлениям их место во времени и пространстве, однако о внут­реннем существе какого-либо из этих явлений мы не получаем ни ма­лейшего знания. Это существо именуется силой природы и лежит вне сферы естественнонаучного (этиологического) объяснения. После всех её объяснений эти явления остаются нам совершенно чужды, их смысл непонятен. «Механика, — пишет Шопенгауэр, — с самого начала пред­полагает как необъяснимое материю, тяжесть, непроницаемость, пере­дачу движения толчком, косность и т. д.»².

Но всё дело в том, что логика определяет только правила игры с символами. Она не может претендовать ни на что большее. Эти прави­ла должны быть однозначными и удобными для тех, кто в эту игру с символами играет. Разумеется, есть правила, которые удобны почти все­гда- Например, такое: если а < А, а Ь < с, то а < с. Однако и такое обыч­но разумное правило отнюдь не всегда верно. Не очень целесообразно его применение к качественным оценкам (если, например, знак «<» означает «менее красив» или «менее загадочен»), к величинам, изменя­ющимся во времени, и т. д. Так, какое бы ни было эмоциональное отно­шение а к b и b к с, вряд ли что-либо строго однозначное можно сказать об отношении а к с. Поэтому, вообще говоря, логическая система тре­бует какой-либо интерпретации, в рамках которой и используются термины. Интерпретация приписывает этой системе некий смысл, выходя­щий за рамки самой системы. Интерпретация может быть эмпиричес­кой — тогда система связывается хоть с каким-либо представлением о реальности. Например, арифметика связывается со способами перечис­ления, а геометрия — с измерением на поверхности Земли. Интерпре­тация может быть также логической или математической — тогда одна логическая система интерпретируется в терминах другой — например, геометрия интерпретируется в алгебраических терминах.

Требование непротиворечивости недостаточно для построения ло­гической системы. Ведь даже для доказательства непротиворечивости необходим какой-то набор слов и аксиом. Любое доказательство, в том

¹Хюбнер К. Критика научного разума. М., 1994, с. 55.

² Шопенгауэр А. Мир как воля и представление. Минск, 1998, с. 223-225,

числе доказательство непротиворечивости, предполагает какой-то спо­соб доказывания,, а значит, и аксиоматику. Можно ли, например, логи­чески доказать, что непротиворечивость надо доказывать, или что про­тиворечивой логики не может существовать? И можно ли точно опреде­лить, что такое непротиворечивость, чтобы её можно было однозначно доказать?' Чаще всего доказательство непротиворечивости ограничи­вается доказательством существования интерпретации. Так, Д. Гильберт доказывает, что геометрия непротиворечива, если непротиворечива ариф­метика. Но является ли это реальным доказательством того, что геомет­рия непротиворечива, если нет логического аппарата для доказатель­ства непротиворечивости самой арифметики?..

Из сказанного следует: логика никогда не может логически обо­сновать сама себя. Это первыми осознали математики, когда стали пытаться доказать кажущиеся не слишком очевидными аксиомы (типа пятого постулата Эвклида) и пришли к глубокому кризису оснований своей науки. Великий английский математик и философ Б. Рассел об­разно описал свое состояние в процессе понимания причин кризиса:

«Я жаждал определенности (т. е. логической обоснованности — В. А.) примерно так же, как иные жаждут обрести религиозную веру. Я пола­гал, что найти определенность более вероятно в математике, чем где-нибудь еще. Выяснилось, однако, что если определенность и кроется в математике, то заведомо в какой-нибудь новой области, которую можно обосновать более надежно, чем традиционные области с их истинами, только кажущимися незыблемыми. В процессе работы у меня из голо­вы не выходила басня о слоне и черепахе: воздвигнув слона, на котором мог бы покоиться математический мир, я обнаружил, что этот слон ша­тается, — тогда мне пришлось создать черепаху, которая не давала бы слону упасть. Но и черепаха оказалась ничуть не более надежной, чем слон, — и через каких-нибудь двадцать лет напряженных усилий и по­исков я пришел к выводу, что не смогу сделать ничего более, дабы при­дать математическому знанию неоспоримый характер... Математика (а по существу и логика — В. А.) — такой предмет, в котором мы никог­да не знаем ни того, о чем мы говорим, ни насколько верно то, что мы

' Например, блестящий логик и глубокий мистик П. Л. Флоренский вообще отвергает Традиционный взгляд на непротиворечивость. Он допускает как непротиворечивое такое построение: из q следует г, а при условии? из q следует «не г» — см. Флоренский П. А. Столп и утверждение истины, I (2).M„ 1990, с. 500-505. Поясняющий пример Флоренс­кого: небо (q) — голубое (г); однако на закате (р) небо (q) красное (т. е. «не г»). Возмо­жен такой взгляд на непротиворечивость? Ответ зависит от нашего выбора. Логики на­звали такие понимание паранепротиворечивостью.

говорим)»¹. В другой работе Рассел добавляет: «Пока мы остаёмся в области математических формул, всё кажется определённым, но когда мы стараемся интерпретировать их, оказывается, что эта определённость в какой-то степени иллюзорна»².

Позднее, к тому же» выяснилось, что при таком подходе в доста­точно богатых логических системах (хотя бы включающих в себя ариф­метику) нельзя построить полный набор аксиом (теорема Гёделя о не­полноте). Иначе говоря, существуют такие правильно построенные пред­ложения, которые с таким же успехом можно принять за аксиомы, как и их отрицания, — они несводимы к имеющимся аксиомам, а значит, нельзя доказать их истинность; их также нельзя привести к противоре­чию с аксиомами и тем самым доказать ложность этих предложений. Более того, нельзя определить полный набор всех истинных предложе­ний, выводимых из данного набора аксиом (теорема Левенгейма-Сколема), нельзя создать процедуру, позволяющую заранее определить, мож­но ли в принципе доказать истинность или ложность данного предло­жения... Но если в логике эти трудности неизбежны, то тем острее они в менее формализованных естественных языках. Потому так грустен М. Полани, который признается, что мы никогда не сможем ни выска­зать всё, что знаем, ни узнать всего того, что сказали ³. В общем, если слишком сильно об этом задумываться, то возникает опасность для нор­мальной психики удариться «о космическое дно» (а ведь, как говаривал Станислав Ежи Лец, очутившись на дне, можно услышать стук снизу).

Следует также учесть, что рационалистические построения слиш­ком чувствительны к ошибкам и к изменениям исходных допущений (аксиом). Если в рассуждениях какого-нибудь логика или математика встречается ошибка (т. е. появляется противоречие), то, строго говоря, выводы уже можно не читать - они заведомо ошибочны. В истории куль­туры различные математические и логические системы потому и сосу­ществуют друг с другом, что все они формально правильны. Поэтому, например, неэвклидовы и псевдоевклидовы геометрии не отвергли гео­метрию Эвклида, поскольку все эти разные геометрии опираются на разные исходные предпосылки. Нам остаётся лишь выбирать ту, кото­рая в данный момент устраивает нас больше.

Человечество всегда стремилось и будет стремиться к недости­жимой логической ясности. И будет периодически верить обещаниям

' Цит. по кн. Клайн М. Математика. Утрата определенности. М., 1984, с. 266-267.

² PacceлБ. Человеческое познание. Его сфера и границы. Киев, 1997, с. 259.

³ Полани М. Личностное знание. М., 1985, с, 140.

рационалистов. И также никогда не откажется от логики, как никогда не откажется от речи. Ведь любое знание, в конце концов, должно быть выражено на языке, хотя язык сам по себе уже искажает реальность: напри­мер, он членив действительность на неизменные элементы (а потому при­мер Б. Рассела — если некто ест котлету, с помощью языка невозможно выразить, когда эта котлета перестаёт быть котлетой и становится частью едока). Как бы рационализм ни критиковался, в новых формах он будет возникать снова и снова. Потому что без принятых логических правил игры с символами нельзя надеяться на однозначное понимание.

Итак, нельзя объяснить самоочевидность логическими средства­ми. Но из-за этого не стоит пытаться отказаться от логики, хотя подоб­ная точка зрения с достойной лучшего применения регулярностью встре­чается в истории культуры. Ибо логика — всего лишь упрощенный и универсальный язык общения (в том числе общения с самим собой), существующий для того, чтобы иметь возможность максимально одно­значно выражать свои мысли. В науке типично требование, чтобы ком­муникация между учеными была логически безупречна ¹. Но логика не­обходима во всех видах взаимодействия между людьми. Отказ от ло­гики - это отказ от надежды на проверку правильности (т. е. одно­значности понимания) совершаемых коммуникаций.

Дата добавления: 2015-07-11