Введение. Излучение телами электромагнитных волн (свечение тел) может осуществляться за счет

Излучение телами электромагнитных волн (свечение тел) может осуществляться за счет различных видов энергии. Самым распространенным является тепловое излучение, то есть испускание электромагнитных волн за счет внутренней энергии.

Тепловое излучение имеет место при любой температуре, однако при невысоких температурах излучаются практически лишь длинные (инфракрасные) электромагнитные волны.

Из всех видов излучения только тепловое является равновесным. К равновесным состояниям и процессам применимы законы термодинамики. Поэтому тепловое излучение подчиняется закономерностям, вытекающим из принципов термодинамики.

Для выяснения закона излучения абсолютно черного тела необходимо выяснить зависимость энергетической светимости от температуры.

Энергетической светимостью тела называется поток энергии, испускаемый единицей поверхности излучающего тела по всем направлениям (в пределах телесного угла 2 p). Или энергетическая светимость R определяется как мощность излучения d W с элемента поверхности по всем направлениям, отнесенная к площади элемента поверхности dS:

(1)

Энергетическая светимость измеряется в ваттах.

Излучение состоит из волн различных частот ω (или длин λ). Обозначим поток энергии, испускаемый единицей поверхности тела (или, что тоже самое, мощность излучения) в интервале частот dω через dR_ω. При малом интервале dω поток dR_ω будет пропорционален dω:

dR _ω =r _ω d ω(2)

Величина r_ω называется испускательной способностью тела. Также как и R испускательная способность сильно зависит от температуры тела. Таким образом r_ω есть функция частоты и температуры. Энергетическая светимость связана с испускательной способностью формулой:

(3)

Чтобы подчеркнуть, что энергетическая светимость и испускательная способность зависят от температуры, их снабдили индексом Т. Излучение можно характеризовать вместо частоты ω длиной волны λ. Участку спектра dω будет соответствовать интервал волн dλ. Определяющие один и тот же участок величины dω и dλ связаны простым соотношением, вытекающим из формулы:

Дифференцирование дает:

(4)

Доля энергетической светимости, приходящаяся на интервал dλ может быть по аналогии с (2) представлена в виде:

(5)

Между r_l и r _ω существует связь:

(6)

Пусть на элементарную площадку поверхности тела падает поток лучистой энергии dΦ _ω, обусловленный электромагнитными волнами, частота которых заключена в интервале dω. Часть этого потока будет поглощена телом. Безразмерная величина:

(7)

называется поглощательной способностью тела, это функция частоты и температуры. По определению α_ωT не может быть больше единицы. Между испускательной и поглощательной способностями любого тела имеется связь:

, (8)

где индексы 1,2,3 и т.д. относятся к разным телам. Выражение (8) выражает установленный Кирхгофом закон, который формулируется следующим образом: отношение испускательной и поглощательной способностей не зависит от природы тела, оно является для всех тел одной и той же (универсальной) функцией частоты (длины волны) и температуры:

(9)

При теоретических исследованиях для характеристики спектрального состава равновесного теплового излучения удобнее пользоваться функцией частоты f (ω,T). В экспериментальных работах удобнее пользоваться функцией длины волны φ(λ,Т). Обе функции связаны друг с другом формулой:

(10)

Для тела, полностью поглощающего падающее на него излучение всех частот, α _{ω T} ≡ 1. Такое тело называют абсолютно черным. Тело, для которог о α_wТ ≡ α_Т = const < 1, называют серым. Следовательно, из (9) вытекает, что r_ωТ для такого тела равна f(ω,T). Таким образом, универсальная функция Кирхгофа f(ω,T) есть не что иное, как испускательная способность абсолютно черного тела. Абсолютно черных тел в природе не существует. Сажа или платиновая чернь имеют поглощательную способность α_w, близкую к единице, лишь в ограниченном интервале частот; в далекой инфракрасной области их поглощательная способность заметно меньше единицы. Однако можно создать устройство, сколь угодно близкое по своим свойствам к абсолютно черному телу.

Рис. 1

Из рис. 1 следует, что энергетическая светимость абсолютно черного тела сильно возрастает с температурой. Максимум испускательной способности с увеличением температуры сдвигается в сторону более коротких волн.

Теоретическое объяснение законов излучения абсолютно черного тела имело огромное значение в истории физики. Оно привело к понятию квантов энергии.

Стефан (1879), анализируя экспериментальные данные пришел к выводу, что энергетическая светимость любого тела пропорциональна четвертой степени абсолютной температуры. Позднее было доказано, что это утверждение справедливо лишь для черного тела. Больцман (1884), исходя из термодинамических соображений, получил теоретически для R абсолютно черного тела следующее значение:

(11)

Соотношение (11) получило название закона Стефана – Больцмана, а σ – постоянной Стефана – Больцмана. (σ = 5,7·10^-8 ).

Вследствие того, что реальные тела не являются абсолютно черными телами, их интегральное излучение всегда меньше интегрального излучения абсолютно черного тела при той же температуре. Поэтому закон Стефана-Больцмана для реальных тел имеет вид:

, (12)

где - коэффициент излучения или коэффициент серости, зависящий от температуры.

Вин (1893), воспользовавшись кроме термодинамики, электромагнитной теорией, показал, что функция спектрального распределения должна иметь вид:

(13)

или

(14)

- некоторая функция отношения частоты к температуре.

- функция произведения λТ.

Соотношение (14) позволяет установить зависимость между длиной волны λ_m, на которую приходится максимум функции φ(λ,Т), и температурой:

(15)

b = const (b=2,9·10^-3 )

Это соотношение носит название закона смещения Вина.

Также можно получить закон Стефана – Больцмана для абсолютно черного тела. И можно найти значение постоянной в законе смещения Вина.

Рассмотрим излучение, находящееся в равновесии с веществом. Для этого представим себе эвакуированную полость, стенки которой поддерживаются при постоянной температуре Т. В равновесном состоянии энергия излучения будет распределена в объеме полости с определенной плотностью U = U(T). Спектральное распределение этой энергии можно охарактеризовать функцией U(ω,Т), определяемой условием dU_ω = U(ω,T)dω, где dU_ω – доля плотности энергии, приходящийся на интервал частот dω. Полная плотность энергии:

(16)

Рэлей и Джинс сделали попытку определить равновесную плотность излучения U(ω,Т), исходя из уравнения классической статистики о равнораспределении энергии по степеням свободы. Они предположили, что на каждое электромагнитное колебание приходится в среднем энергия, равная двум половинам , - одна половина на электрическую, вторая - на магнитную энергию волны (напомним, что по классическим представлениям на каждую колебательную степень свободы приходится в среднем энергия, равная двум половинам ).

Равновесное излучение в полости представляет собой систему стоячих волн. Без учета возможных видов поляризации количество стоячих волн, отнесенное к единице объема полости, определяется формулой

, (17)

в которой скорость u нужно положить равной с. Вдоль заданного направления могут распространяться две электромагнитные волны одинаковой частоты, отличающиеся направлением поляризации (поляризованные во взаимно перпендикулярных направлениях). Чтобы учесть это обстоятельство, нужно выражение (17) умножить на два. В результате получим

. (18)

Умножив (18) на , получим плотность энергии, приходящейся на интервал частот

. (19)

Отсюда

(20)

Тогда, переходя от к по формуле , получим выражение для испускательной способности абсолютно черного тела

(21)

Выражения (20) и (21) называются формулой Рэлея-Джинса. Она удовлетворительно согласуется с экспериментальными данными, лишь при больших длинах волн и резко расходится с опытом для малых длин волн (рис. 3, на котором сплошной линией изображена экспериментальная кривая, пунктиром - кривая, построенная по формуле Рэлея-Джинса).

Рис.2

Интегрирование выражения (21) по ω в пределах от 0 до ∞ дает для равновесной плотности энергии U(T) бесконечно большое значение. Этот результат, получивший название ультрафиолетовой катастрофы, также находится в противоречии с опытом.

С классической точки зрения вывод формулы Рэлея-Джинса является безупречным. Поэтому расхождение этой формулы с опытом указывало на существование каких-то закономерностей, несовместимых с представлениями классической физики.

В 1900 году Планку удалось найти вид функции U(ω,Т), в точности соответствующий опытным данным. Для этого ему пришлось сделать предположение совершенно чуждое классическим представлениям, а именно допустить, что электромагнитное излучение испускается в виде отдельных порций энергии (квантов), величина которых пропорциональна частоте излучения:

(22)

Планк получил выражение для плотности энергии в виде:

(23)

или

(24)

Выражение (23) и (24) носят название формулы Планка. Эта формула точно согласуется с экспериментальными данными во всем интервале частот от 0 до ∞. Из этой формулы можно получить закон Рэлея – Джинса, при (малые частоты или большие длины волн).

Дата добавления: 2015-07-11