Математика 11 класс

Задания олимпиад «Инфоурок» (сезон «ВЕСНА-2015»)

1. Если , то наименьшее значение выражения равно

A)

B)

C) –0,5

D) –

Решение:

2. Чему равна сумма , если = a

A) 2– a

B) a –2

C) -2a

D) 2 a

Решение:

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

3. При каком значении m система уравнений не имеет решений?

A.

B. m=3

C.

D. m=3,9

Ответ:

Система не имеет решений, если квадратное уравнение не имеет корней, то есть

4. Сумма некоторого числа, большего 1, и числа, ему обратного, в раза меньше разности их квадратов. Найдите эти числа.

A. 1,2 и 5/6

B. 9/8 и 8/9

C. 3 и 1/3

D. 5 и 0,2

Ответ: Пусть a>1 – некоторое число, тогда – число, обратное ему. – сумма этих чисел, – разность квадратов этих чисел.

3a²-3=8a

3a²-8a-3=0

– не подходит, так как a>1

Число 3; число, обратное ему

5. При каком значении a не имеет корней уравнение

A. A<18

B. a∈[0; 18)

C. a>16

D. [18; +∞)

Ответ:

Уравнение не имеет корней, если дискриминант меньше нуля.

x²=t

t²-8t+a=0

D=64-4a

64-4a<0

4a>64

a>16

6. Найдите площадь фигуры, ограниченной линией |x|+|y|=6

A. 36

B.

C. 40

D. 72

Ответ:

⧍АОВ – прямоугольный треугольник с катетами АО=ВО=6

7. Сумма двух чисел равна , а разность составляет . Произведение этих чисел равно:

A. 1

B. 4

C.

D. 6

Ответ:

8. Уравнение имеет одно решение при:

A. n=-0,25

B. n∈(-0,25; +∞)

C. n=0,25

D. n∈[-0,25; 0]

Ответ:

Уравнение имеет одно решение, если D=0:

4n+1=0

4n=-1

9. Область определения функции составляет множество

A. (-∞;-5] [5; +∞)

B. (-∞;-7) [-5; -1) [5; +∞)

C. (-∞;-7] [-5; -1] [5; +∞)

D. (-7; -1)

Ответ:

Метод интервалов:

x∈(-∞;-7) [-5; -1) [5; +∞)

10. Перед сезоном подготовки к школе оптовая база закупила у изготовителя партию альбомов и поставила ее магазину по оптовой цене, которая на 30 % больше цены изготовителя. Магазин установил розничную цену на 20% выше оптовой. При распродаже в конце сезона магазин снизил розничную цену на альбом на 10 %. На сколько рублей больше заплатил покупатель по сравнению с ценой изготовителя, если приобрел альбом за 70,2 рубля?

A. на 8,02 руб.

B. на 10,6 руб.

C. на 12 руб.

D. на 20,2 руб.

Ответ:

30%=0,3; 20%=0,2; 10%=0,1

х-цена изготовителя

х+0,3х=1,3х – цена оптовая

1,3х+1,3х*0,2=1,3х+0,26х=1,56х – цена магазина

1,56х*0,9=1,404 – цена после снижения

1,404х=70,2

х=70,2:1,404

х=50 (руб.) – цена изготовителя

70,2-50=20,2 (руб.) – заплатил больше покупатель

11. Сумма площадей правильного четырехугольника, описанного около окружности, и правильного треугольника, вписанного в эту окружность, равна . Найдите длину окружности.

A. 8,5π см

B. 8 π см

C. 10 см

D. 10 π см

Ответ:

Описанный четырехугольник – квадрат со стороной a=2R, где R- радиус окружности. Вписанный треугольник – правильный, то есть равносторонний, со стороной

Длина окружности

12. Точка M не лежит в плоскости ромба ABCD. На отрезке BM взята точка N так, что MN:NB=1:3. Точка К – точка пересечения прямой МС с плоскостью AND. Если AD=16, то отрезок NK равен:

A. 2 см

B. 4 см

C. 6 см

D. 8 см

Ответ:

NK||BC⟹⧍MNK~⧍MBC (по двум углам)

13. Наименьшее значение функции равно:

A. -2

B. -0,5

C. -1,5

D. 0,5

Ответ:

(***) Парабола , ветви которой направлены вверх, принимает наименьшее значение в точке, абсцисса которой совпадает с абсциссой вершины, которую найдем по формуле , т.е.

. Значит, у=2²-4*2+8=4

14. Высота треугольника разбивает его основание на два отрезка с длинами 8 и 9. Найдите длину этой высоты, если известно, что другая высота делит ее пополам.

A. 8

B. 6

C. 12

D. 4

Ответ:

BM, AN – высоты ⧍ABC. Пусть BO=OM=x

⧍AMO~⧍ANC (по двум углам)

⟹ , т.е.

⧍BMC~⧍ANC (по двум углам)

⟹ , т.е.

Значит, , т.е. 2х²=72, х²=36, х=6. Следовательно, BO=OM=6. BM=12.

15. В классе 26 учеников. Для изучения иностранного языка класс нужно разбить на две группы по 13 учеников. Сестры Настя и Алена учатся в этом классе, какова вероятность того, что обе попадут изучать один язык.

A. 0,6

B. 0,48

C. 0,32

D. 0,45

Решение:

Дата добавления: 2015-07-11