Пример В9-3

В сосуд, имеющий форму конуса, налили 25 мл жидкости до половины высоты сосуда. Сколько миллилитров жидкости нужно долить в сосуд, чтобы заполнить доверху?

Объемы подобных фигур относится как куб коэффициента их подобия.
Пусть объем заполненной части конуса будет V1,
а объем всего конуса - V2
V1:V2 = k³= (1/2)³= 1/8
Следовательно, объем всего конуса в 8 раз больше заполненной части и равен 8*25= 200(мл)
Чтобы заполнить конус жидкостью, необходимо добавить
200-25=175 (мл)

Задача.

В сосуд, имеющий форму конуса, налили 20 мл жидкости до половины высоты сосуда. Сколько миллилитров жидкости нужно долить в сосуд, чтобы заполнить его доверху?

Решение:

Формула для поиска объема объема конуса с высотой h и радиусом основания R: V = 1/3 ПR² * h.

У нас имеется 2 конуса: 1-й с вершиной в точке S и центром основания О₁

2-й с вершиной в точке S и центром основания О.

Конус имеет объем 20 мл. Пусть ОА = R, О₁А₁ = r, SO = h, тогда SO₁ = h/2, и r = R/2 (из подобия треугольников SO₁A₁ и SOA). V - объем большого конуса, V₁ - объем малого конуса, равен 20.

Нужно найти V - V₁.

(1) 20 = 1/3 П (R/2)² * h/2 - формула объема для малого конуса.

(2) V = 1/3 ПR² * h - формула объема для большого конуса.

Из (1) имеем: 60 = ПR² * 1/4 * 1/2 *h

480 = ПR² * h - подставим это в (2):

V = 1/3 * 480 = 160.

Значит, V - V₁ = 160 - 20 = 140 мл. Это и есть необходимое количество жидкости для заполнения большого конуса доверху.

Ответ: 140.

Пример В9-3

В сосуд, имеющий форму конуса, налили 25 мл жидкости до половины высоты сосуда. Сколько мл жидкости нужно долить, чтобы заполнить его доверху?

Решение. Конус, так-то, весьма похож на пирамиду, только в основании его не многоугольник, а круг, и вообще он весь круглый. Понятно, что в дано задачке нужно знать формулу для вычисления объема конуса.
Объем конус равен 1/3 произведения площади основания на высоту. А поскольку в основании круг, то вспомним заодно и площадь круга. Площадь круга равна пи эр квадрат – произведению числа пи на квадрат радиуса круга.
Заметим еще такую довольно очевидную фишку.

Если в полном конуса высота будет в два раза больше, чем когда он был налит до половины, то и радиус его в верхней части будет в два раза больше радиуса середины. Это вытекает хотя бы из подобия красненьких треугольников.
Получается, что объем налитого до половины конуса равен

А объем полного конуса, у которого и радиус и высота в два раза длиннее

Он в 8 раз больше. То есть, в налитом до половины поместилось 25 мл, а в полный 25 умножить на 8 = 200 мл.
Правда, не торопитесь с ответом. В условии спрашивают, сколько надо ДОБАВИТЬ? 200 – 25 (уже налито) = 175
Ответ: 175

Дата добавления: 2015-07-11