Пример решения задач.

Пример 4.1. Определить электродинамическое усилие, действующее на 10 м прямолинейного бесконечно тонкого уединённого проводника с током к.з. I=50кА, Проводник находится в поле земли и расположен под углом =30° к плоскости магнитного меридиана. Горизонтальная составляющая напряжённости магнитного поля Н=12,7 А/м, а угол наклона β =72°.

Решение.

Действующее на проводник усилие определяется по закону Ампера по формуле

,

где , Гн/м.

Тогда горизонтальная составляющая индукции земного поля

B_г= 4∙π∙10^-7∙12,7 = 0,16∙10^-4 Тл.

Вертикальная составляющая

B_В = B_г∙tgβ = 0,16∙10^-4∙tg72⁰ = 0,49∙10^-4 Tл.

Определим две составляющие силы, действующие на проводник:

от горизонтальной составляющей вектора индукции

F_г= 0,16∙10^-4∙50∙10³∙10∙0,5 = 4 H,

от вертикальной

F_B=0,49∙l0^-4∙50∙10³∙10∙0,5 = 24,5 Н.

Суммарное усилие, действующее на проводник

Н.

Ответ: 24,8 Н.

Пример 4.2. Определить значение электродинамического усилия, с кото­рым притягиваются друг к другу два параллельных круглых, бесконечно длинных проводника, находящиеся друг от друга на расстоянии а =1 м, когда по ним кратковременно протекают токи i₁ =10 кА, i₂ =20 кА. Диаметры проводников соответственно равны d₁ =10 мм и d₂ =20 мм. Расчет усилия провести на длине l=1м.

Решение.

Определим усилие, действующее на 1 м проводника. По­скольку проводники бесконечно длинные, напряженность маг­нитного поля на оси второго проводника от тока в первом

.

Так как диаметры проводников намного меньше, чем расстоя­ния между ними, то расчет можно вести как для бесконечно тон­ких проводников. Тогда усилие между проводниками в соответ­ствии с формулой (2.1)

H,

где , так как проводники лежат в одной плоскости;

; Гн/м.

Ответ: F = 40 H.

Пример 4.3. Определить электродинамическое усилие, возникающее меж­ду двумя витками цилиндрического однослойного реактора, имеющего радиус R=1 м. Витки имеют шаг А=10 мм. По реак­тору протекает ток к. з. I =50 кА.

Решение.

Для решения задачи воспользуемся формулой (2.1)

,

где – полная электромагнитная энергия системы; X–возможное перемещение в направлении действия усилия, т. е. ; W_соб – часть электромагнитной энергии, обусловленная собственной индуктивностью витков. При изменении координа­ты X остается неизменным W_соб поэтому из формулы (2.1)

Если h = 0,4R (это имеет место для условий задачи), взаимная индуктивность (см табл. П 2). Тогда Н.

Ответ: F= -3140 Н,

Пример 4.4. Определить усилие, действующее между двумя круговыми витками 1, 2 (рис. 4.1), если по виткам протекают токи I₁=10 кА, I₂=15кА. Радиусы витков R₁=0,5 м, R₂=1м; диаметры про­водников, из которых изготовлены витки, d₁=d₂=20 мм. Рас­стояние между витками, находящимися в воздухе, h =0,5 м. Вы­числить усилия, разрывающие витки.

Рисунок 4.1 – Эскиз расположения витков.

Решение.

Если h ≈ R, то для двух витков взаимная индуктивность из табл. П2

Тогда вертикальная составляющая усилия между витками в со­ответствии с (2.3)

Знак минус свидетельствует о том, что с уменьшением расстоя­ния взаимная индуктивность увеличивается. Радиальные составляющие усилий

Знак минус свидетельствует о том, что данная сила сжимает ви­ток 2.Усилия, обусловленные собственными индуктивностями контуров, определяют по формуле (1.4)

Тогда результирующие усилия, разрывающие витки,

H;

Н.

Эти усилия равномерно рас­пределены по дугам окружностей соответствующих витков.

Усилия, стремящиеся разорвать витки,

Н.

Для определений усилий, сжимающих витки, необходимо вычислить

Эти усилия распределены равномерно по боковым поверх­ностям витков. Здесь знаки минус “свидетельствуют о том, что происходит сжатие проводников”. Следовательно, давления, дей­ствующие на боковые поверхности проводников,

;

Ответ:

.

Пример 4.5 Определить характер изменения во времени и значение элек­тродинамического усилия, действующего на ножи рубильника (рис. 4.2), по которым протекает однофазный ток к. з. Устано­вившееся значение тока I_уст = 800 А, частота f=50 Гц. Известно, что короткое замыкание произошло в удаленных от генерато­ра точках сети. Размеры рубильника: l =80 мм, h =70 мм.

Рисунок 4.2 – Эскиз рубильника

Решение.

Поскольку короткое замыкание произошло в удаленных от генератора точках сети, влиянием апериодической составляющей на электродинамическое усилие можно пренебречь [9], т. е. ток к. з.

Тогда усилие взаимодействия между ножами рубильника в соот­ветствии с формулой (3.1)

где

– коэффициент контура электродинамических усилий, опреде­ляемый по табл. П.1 c^-1 – угловая частота тока.

Тогда

Разложив , получаем . Очевидно, что максимальное значение усилия =0,134 Н; среднее значение за период =0,067 Н; мини­мальное =0.

Ответ: =0,134 Н; =0,067 Н; =0

Пример 4.6 Для примера 4.5 проверить, удовлетворяют ли условиям проч­ности и жесткости ножи рубильника, которые изготовлены из меди, поперечное сечение их имеет прямоугольную форму с размерами axb = 3x15 мм. Ножи расположены широкими сто­ронами друг к другу.

Решение.

Нож рубильника можно рассчитать как балку на двух опорах, т.е.

где –максимальное значение изги­бающего момента; м³ – мо­мент сопротивления; Па - допустимое напряжение на изгиб для меди. Тогда

Па.

Следовательно, ножи рубильника удовлетворяют условиям прочности. Во избежание появления механического резонанса необходимо, чтобы частота собственных колебаний механиче­ской системы не была равна частоте возбуждающей силы, т. е. в нашем случае 100 Гц.

Для двух параллельных шин частота собственных колеба­ний

Гц,

где k - коэффициент, учитывающий жесткость заделки ножа как балки на двух опорах. При жестко заделанном одном конце и свободном закреплении другого конца, это имеет место в случае рубильника, k = 48 [1]; Н/см² - модуль упругости мате­риала (меди); Н/см³ - удельный вес меди; см² -площадь поперечного сечения; см⁴ - момент инерции поперечного сечения. Следо­вательно, поскольку собственная частота меньше вынужденной, механический резонанс не будет иметь места.

Ответ: Гц.

Дата добавления: 2015-07-11