Условия динамической совместности. Ударные адиабаты.

Условия динамической совместности строго справедливы на фронте ударной волны. Приближенно ими пользуются также для связи максимальных параметров в волнах напряжений. Рассмотрим границу ударной волны - ее фронт. Здесь все параметры движения увеличиваются скачком. Параметрами течения являются давление , плотность , внутренняя энергия , скорость частиц и скорость перемещения фронта . Для фронта ударной волны полученные ранее дифференциальные уравнения движения несправедливы, так как они основаны на допущении непрерывности течения. Однако и для фронта ударной волны должны выполняться законы сохранения. Чтобы получить условия на фронте ударной волны, рассмотрим распространение возмущений с плоским фронтом в трубе с площадью сечений . Полученные таким образом соотношения справедливы также и дня других типов одномерных движений: сферических к цилиндрических. Состояние невозмущенно среды перед фронтом характеризуют параметры , , , , и эти параметры на

Рисунок.3 – Распространение фронта и частиц за фронтом ударной волны.

фронте обозначают , , , .Два положения фронта, соответствующие моментам и обозначим АВ и А'В' (рис.3). Следует отметить, что распространение возмущений происходит с большей скоростью, чем движение частиц среды. Линией CD на рис.3 обозначено положение частиц в момент , находившихся в момент в положении AВ.

Масса частиц со стороны невозмущенной среды, прошедших через фронт за время ,

.

За фронтом ударной волны частицы движутся со скоростью и имеют плотность . Поэтому со стороны возмущенной среды масса частиц, прошедших через фронт за время ,

.

Так как оба эти выражения определяют одну и ту же массу, можно записать

а

Рассмотрим закон сохранения импульса для фронта ударной волны. На рассмотренную выше массу жидкости действует сила , а за промежуток времени - импульс . В соответствии с законом сохранения импульса изменение импульса по обе стороны от фронта равно изменению количества движения:

.

Таким образом,

(12)

И, наконец, из закона сохранения энергии следует уравнение энергии. Изменение полной энергии некоторой массы, которое состоит из суммы внутренней и кинетической энергий, равно работе приложенных сил.

Работа сил давления

.

Изменение полной энергии

.

В силу закона сохранения массы имеем

(13)

С помощь соотношений (11), (12) уравнение (13) можно привести к виду, называемому формулой Гюгонио,

. (14)

Таким образом, систему условий динамической совместимости со­ставляют уравнения (11), (12) и (14).

Условия динамической совместности, дополненные уравнением состояния, позволяют установить однозначную связь между любыми двумя термодинамическими и газодинамическим параметрами течения на фронте ударной волны. Такая связь называется ударной адиабатой. Наиболее просто могут быть получены ударные адиабаты для идеальных газов. В этом случае внутренняя энергия

,

где - показатель адиабаты идеального газа, для одноатомного газа , для двухатомного .

Пользуясь этим выражением и уравнением Гюгонио, можно по­лучить ударную адиабату в виде

или

Для сильных ударных волн, когда из уравнения (15) следует

т.е. рост плотности возможен только до некоторой предельной величины при окольно угодно большом превышении давления над начальным. Для одноатомного газа , для двухатомного . Зная связь между какими-либо двумя параметрами на фронте, с помощью условий (11), (12) и (14) можно найти все остальные параметры, например:

(16)

Для реальных сред экспериментально установлено, что ударная адиабата может быть описана соотношением

,

где и - постоянные.

Ударная адиабата (15) отличается от статической адиабаты Пуассона

При одинаковых значениях плотности давление на ударной адиабате в общем случае выше, чем на статической. В отличие от ударного сжатия при статическом предельного значения плотности не существует.

Этот вывод справедлив не только для идеальных газов, но и для реальных сред. Различие адиабат проявляется тем больше, чем выше давление. Например, для воды в диапазоне давлений до 1 ГПа это различие не проявляется и во многих приближенных решениях таким различием пренебрегают при давлениях до 3 ГПа.

Для конденсированных сред (жидких и твердых) широко используется единая зависимость для ударной и статической адиабат в форме Тэта:

,

где и - постоянные, связанные соотношением ;

- скорость звука в невозмущенной жидкости или скорость продольной волны в твердой среде.

Для горных пород используется приближенная зависимость

где при при

Дата добавления: 2015-07-11