Решение проверочной работы № 3 – 0

Проверочная работа № 3 – 0

(с решением)

1. Пользуясь определением, доказать непрерывность функции f (x) = 4 x ² -5 x + 2 в каждой точке x _оÎ R.

2. Найти точки разрыва функции

Определить скачок функции в каждой точке разрыва и построить график.

3. Исследовать функцию f (x) = на непрерывность в точке x _о = 1.

4. Найти точки разрыва функции и определить их характер.

Решение проверочной работы № 3 – 0

1. Пусть D х - приращение аргумента в точке x _оÎ R.

Найдем соответствующее приращение функции:

Применяя теоремы о пределе суммы и пределе произведения функций, получим: . Значит, по определению функция непрерывна в каждой точке x _оÎ R.

2. Рассмотрим односторонние пределы функции в точках, в которых меняется аналитическое задание функции числитель и знаменатель обращаются в ноль): x = -2 и x = 2.

При x ® -2-0 предел рассматривается слева от точки x = -2, имеем:

При x ® -2+0 предел рассматривается справа от точки x = -2, имеем:

.

Так как односторонние пределы конечны, но не равны , ,

то x = -2 является точкой разрыва I рода. Скачок функции в этой точке разрыва равен 2.

Рассмотрим односторонние пределы при x ®2 -0 и x ®2 +0:

,

.

Односторонние пределы конечны и равны, значит существует предел функции в точке x = 2, но функция в этой точке не определена. x = 2 - точка устранимого разрыва.

3. Функция f (x) = не определена в точке x _о = 1, нарушено условие существования f (1), значит, функция не является непрерывной в этой точке.

Найдём односторонние пределы функции в этой точке:

, .

Они конечны, но не равны. Значит, нарушено и второе условие существования предела функции в этой точке. Итак, точка x _о = 1 - точка разрыва первого рода.

4. Представим данную функцию в виде: .

Рассмотрим односторонние пределы функции в особых точках (в которых числитель и знаменатель обращаются в ноль): x = 1, x = 0, x = -4.

При x ® 1-0 предел рассматривается слева от точки x = 1, значит x < 1 и | x -1| = - (x -1). Имеем: .

При x ® 1+0 предел рассматривается справа от точки x = 1, значит x > 1 и | x -1| = (x -1). Имеем: .

Так как односторонние пределы конечны, но не равны

, ,

то x = 1 является точкой разрыва I рода.

Рассмотрим односторонние пределы при x ® -0 и x ® +0:

.

Предел при x ® +0 можно и не рассматривать, поскольку x = 0 уже является точкой разрыва II рода.

Наконец, при x ® -4-0 предел рассматривается слева от точки x = -4 и (x + 4) < 0. Имеем: ,

значит x = -4 является точкой разрыва II рода и второй односторонний предел можно не рассматривать.

Ответ. x = 1 – точка разрыва I рода, x = 0 и x = -4 - точки разрыва II рода.

Дата добавления: 2015-07-11