Свойства функций, непрерывных на отрезке

Непрерывность элементарных функций

Все элементарные функции являются непрерывными в любой точке свой области определения.

Непрерывность функции на отрезке

Наряду с непрерывностью функции в точке рассматривают ее непрерывность на разных промежутках.

Функция f (x) называется непрерывной на интервале (a, b), если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Функция f (x) называется непрерывной на отрезке [ a, b ], если она непрерывна на интервале (a, b), непрерывна справа в точке a и непрерывна слева в точке b.

Замечание. Функция, непрерывная на отрезке [ a, b ] может быть разрывной в точках a и b (рис. 1)

Множество функций, непрерывных на отрезке [ a, b ] обозначается символом C [ a, b ].

Свойства функций, непрерывных на отрезке

Теорема 1 (об ограниченности непрерывной функции). Если функция f (x) непрерывна на отрезке [ a, b ], то она ограничена на этом отрезке, т.е. существует такое число C > 0, что " x Î [ a, b ] выполняется неравенство | f (x)| ≤ C.

Теорема 2 (Вейерштрасс). Если функция f (x) непрерывна на отрезке [ a, b ], то она достигает на этом отрезке своего наибольшего значения M и наименьшего значения m, т.е. существуют точки α, β Î [ a, b ] такие, что m = f (α) ≤ f (x) ≤ f (β) = M для всех x Î [ a, b ] (рис.2).

Наибольшее значение M обозначается символом max _{x Î [ a, b ]} f (x), а наименьшее значение m — символом min _{x Î [ a, b ]} f (x).

Теорема 3 (о существовании нуля). Если функция f (x) непрерывна на отрезке [ a, b ] и на концах отрезка принимает ненулевые значения разных знаков, то на интервале (a, b) найдется по крайней мере одна точка ξ в которой f (ξ) = 0.

Геометрический смысл теоремы состоит в том, что график функции, удовлетворяющей условиям теоремы, обязательно пересечет ось OX (рис.3).

Замечание. На этой теореме основан метод приближенного решения уравнения

f (x) = 0,

(1)

называемый методом бисекции (дихотомии), или методом половинного деления.

Теорема (первая теорема Больцано-Коши) Если функция непрерывна на I и в 2 его точках a и b принимает значения разных знаков, то по крайней мере в одной точке c между a и b функция обращается в нуль, т.е. f (c)=0

Геометрический смысл: График непрерывной на промежутке и принимающей в двух точках этого промежутка значения разных знаков пересекает ось абсцисс по крайней мере в одной точке.

f (a)<0, f (b)>0, f (c)=0

В теореме лишь утверждается существование нуля функции такой точки c, где f (c)=0, но не показывает метода нахождения точки.

Доказательство: опирается на теорему Кантора и следствие.

Разделим отрезок [ a; b ] точкой 2 a + b на 2 равных отрезка, если f (2 a + b)=0, то теорема доказана и с=2 a + b, если же f (2 a + b)/=0, то на концах по крайней мере одного из частичных отрезков функция f принимает значения разных знаков.

Обозначим этот сегмент через [ a 1; b 1]. Сегмент [ a 1; b 1] разбиваем точкой c =2 a 1+ b 1на две равные части. Если f (2 a 1+ b 1)=0, то теорема доказана и с=2 a 1+ b 1, если же f (2 a 1+ b 1)/=0, то обозначим через [ a 2; b 2] тот частичный сегмент на концах которого функция принимает значения разных знаков. И т.д.

Продолжив этот процесс либо при некотором k ∈ N будем иметь f (2 ak + bk)=0 и тогда теорема доказана (здесь с=2 ak + bk), либо ни при каких k ∈ N условие f (2 ak + bk)=0 не выполнится.

При этом будет построена посл. ([ an; bn ]стягиванием сегментов

1)[ a; b ]≥[ a 1; b 1]≥...≥[ an; bn ]≥...

2)lim n →∞(b − nan)=2 b − a =0

Поэтому существует единственная точка C содержащаяся во всех сегментах. Функция f непрерывна в точке C ∈ I и поскольку c =lim ann →∞=lim bnn →∞, то в любой окрестности точки C функция f принимает значения разных знаков. По следствию f (c)=0. ч.т.д.

Замечание. Доказанная теорема играет важную роль и при решении неравенств.

Теорема (вторая теорема Больцано - Коши) Если f непрерывна на I и в двух его точках a и bf (a)= A > B = f (b), то для всякой точки C ∈[ B, A ] между точками a и b найдется хотя бы одна точка c, что f (c)= C.

Доказательство: Основано на первой теореме Больцано-Коши.

Рассмотрим вспомогательную функцию φ(x)= f (x)− C она непрерывна на I (как разница 2 непрерывных функций) и т.к. B 0, ϕ(b)= f (b)− C = B − C <0, тогда по теореме между a и b найдется точка с, такая что f (c)=ϕ(c)− C =0, т.е. f (c)= C. ч.т.д.

Геометрический смысл этой теоремы: всякая прямая y = C, где B < C < A, пересечет график функции f по крайней мере в одной точке.

Замечание. Если f - непрерывна и непостоянна на I, то образом этого промежутка I при отображении f будет также промежуток (т.е. непрерывным образ f (I)промежутка I есть промежуток). В самом деле, по теореме из того, что B, A ∈ E (f) следует, что интервал (B; A)⊂ E (f), т.е. E (f)⊂ f (I) - промежуток.

Дата добавления: 2015-07-11