Пермь 2007

Изгиб с кручением. Методические указания к лабораторно-практической работе / Е.Ю. Макарова; Перм. гос. тех. ун-т. Пермь, 2006

Утверждено на заседании кафедры механики композиционных материалов и конструкций Пермского государственного технического университета 31 января 2007 года.

Методические указания к лабораторно-практической работе по курсу «Сопротивление материалов» для студентов дистанционной формы обучения по специальностям «Автомобили и автомобильное хозяйство» и «Строительство автомобильных дорог».

Лабораторно-практическая работа представлена на сайте факультета дистанционных образовательных технологий Пермского государственного технического университета do.pstu.ru

Отчеты по лабораторно-практической работе направляются по электронной почте на адрес [e-mail]

ОБЩИЕ ТРЕБОВАНИЯ И УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ И ОФОРМЛЕНИЮ ЛАБОРАТОРНО–ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ

Лабораторно-практические работы по курсу "Сопротивление материалов" являются индивидуальными: расчетные схемы и числовые данные для каждого задания выбираются по шифру, выдаваемому преподавателем, который состоит из двух цифр (первая соответствует номеру расчетной схемы, вторая – номеру строки в таблице с исходными данными).

Перед выполнением каждого задания необходимо полностью выпи­сать его условие с исходными данными и составить аккуратный эскиз, на котором указать в числах все необходимые для расчета величины.

Схемы и графики вычерчиваются в строго выбранных масштабах, эпюры внутренних усилий приводятся непосредственно под стерж­нями или балками на одном листе, указываются все характерные орди­наты.

Все пункты и этапы работы снабжаются заголов­ками и необходимыми пояснениями. Вычисления и окончательные результаты должны быть запи­саны Международной системе единиц СИ.

Сначала необходимо решать задачи в алгебраической форме, пользуясь стандартными буквенными обозначениями, а затем под­ставлять числа. При подстановке различных величин их размерность не указывается, но результат вычислений обязательно должен иметь соответствующую размерность в системе СИ. Нет необходимости вести расчет с большим числом значащих цифр. Точность счета должна ог­раничиваться двумя цифрами после запятой.

Получив незачтенную работу, студент должен исправить все отмеченные ошибки, выполнив указания преподавателя, в кратчайший срок сдать работу повторно.

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ

С сочетанием изгиба и кручения брусьев круглого поперечного сечения наиболее часто приходится встречаться при расчете валов, реже других деталей и брусьев некруглого сечения.

Если внешние силы, действующие на вал, не лежат в одной плоскости, например в валах редукторов, то каждую из них раскладывают на ее составляющие по двум направлениям: вертикальному и горизонтальному. Затем строят эпюры изгибающих моментов в вертикальной и горизонтальных плоскостях. Величину суммарного изгибающего момента находят по формуле:

Для построения эпюры полных изгибающих моментов по вышеприведенной формуле находят моменты на границах силовых участков и, по ним собственно, строят эпюру. Плоскости действия этих моментов в разных сечениях вала различны, но ординаты эпюры условно для всех сечений совмещают с плоскостью чертежа.

Эпюра крутящих моментов строится так же, как и при чистом кручении.

Опасное сечение вала устанавливается с помощью эпюр полных изгибающих моментов М и крутящих моментов Мк по одной из теорий прочности. Если в сечении вала постоянного диаметра с наибольшим изгибающим моментом М действует наибольший крутящий момент Мк, то это сечение является опасным.

Если же такого явного совпадения нет, то опасным может оказаться сечение, в котором ни М ни Мк не являются наибольшими. Еще больше осложняется задача при валах переменного диаметра; у таких валов наиболее опасным может оказаться такое сечение, в котором действуют значительно меньшие изгибающие и крутящие моменты, чем в других сечениях.

В случаях, когда опасное сечение не может быть установлено непосредственно по эпюрам М и Мк, необходимо проверить прочность вала в нескольких предположительно опасных сечениях.

После установления опасного сечения вала находят в нем опасные точки. В сечении возникают одновременно нормальные напряжения от изгибающего момента и касательные напряжения от крутящего момента и поперечной силы. В валах круглого сечения, длина которых во много раз больше диаметра, величины наибольших касательных напряжений от поперечной силы относительно невелики и при расчете прочности валов на совместное действие изгиба и кручения не учитываются.

Наибольшие напряжения в сечении вала, как нормальные так и касательные, возникают в точках, расположенных по периметру сечения и они равны: ,

где соответственно осевой и полярный моменты сопротивления поперечного сечения бруса.

Расчет валов на прочность при изгибе с кручением, как уже отмечалось выше, производится с применением теорий прочности. При этом расчет валов из пластичных материалов выполняется на основе третьей или четвертой теорий прочности, а из хрупких – по теории Мора.

По третьей теории прочности

По четвертой теории прочности

Эти условия прочности можно выразить и через моменты

По теории прочности Мора

где М_прив – приведенный момент по теории прочности Мора

Таким образом, расчет вала круглого поперечного сечения на совместное действие изгиба и кручения по форме совпадает с расчетом на прямой изгиб, но в расчетной формуле роль изгибающего момента играет приведенный момент, величина которого зависит от изгибающих и крутящего моментов, а также от принятой теории прочности.

Поясним теперь вышеизложенное примером.

Пример. Для ведущего вала прямозубой цилиндрической передачи редуктора с двумя зубчатыми колесами (рис. 7, а), передающего мощность Р = 15 кВт при угловой скорости w = 30рад/с, определить диаметр вала по двум вариантам: а) используя третью гипотезу прочности; б) используя четвертую гипотезу прочности. Принять: [σ] = 160 МПа. Подобрать по ГОСТу шарикоподшипники 1, 2 радиальные (табл. 5). Требуемая долговечность подшипников L_{h тр} = 10·10³_. Рабочая температура t < 100°C. Характер нагрузки — умеренные толчки.

F_{r 1} = F ₁; F_{r 2} = F ₂

Рис. 7

Решение. 1. Составляем расчетную схему вала, приводя действующие на вал нагрузки к оси (рис. 7, б). При равномерном вращении вала М ₁ = М ₂, где М ₁ и М ₂ — скручивающие пары, которые добавляются при переносе сил F ₁ и F ₂ на ось вала.

2. Определяем вращающий момент, действующий на вал:

М ₁ = М ₂ = P/ w = 0,5·10³ Н·м = 0,5 кН·м.

3. Вычислим нагрузки, приложенные к валу:

F ₁ = 2 M ₁ /d ₁ = 2·0,5·10³/0,1 = 10⁴Н = 10 кН; F_{r 1} = 0,4·10 = 4 кН;

F ₂ = 2 M ₂ /d ₂ = 2·0,5·10³/0,25 = 4·10³Н = 4 кН; F_{r 2} = 0,4·4 = 1,6 кН;

4. Определяем реакции опор в вертикальной плоскости (рис. 7, б):

S М_А = F_{r 1}· АС+ F_{r 2}· АD­ –R_By·AB= 0;

R_By= (F_{r 1}· АС+ F_{r 2}· АD­)/ AB = (4·0,05 +1,6·0,25)/0,3 = 2 кН;

S М_B = R_Ay·AB –F_{r 1}· BС– F_{r 2}· DB­ = 0;

R_Ay= (F_{r 1}· BС +F_{r 2}· DB­)/ AB = (4·0,25 +1,6·0,05)/0,3 = 3,6 кН;

S Y = R_Ay – F_{r 1} – F_{r 2} +R_By= 3,6 – 4 – 1,6 + 2 = 0.

S Y = 0, следовательно, R_Ay и R_By найдены правильно.

Определяем реакции опор в горизонтальной плоскости (рис. 7, б):

S М_А = F ₁· АС – F ₂· АD­ –R_Bx·AB= 0;

R_Bx= (F ₁· АС– F ₂· АD­)/ AB = (10·0,05 – 4·0,25)/0,3 = –1,66 кН

Знак минус указывает, на то, что истинное направление реакции противоположно выбранному (см. рис. 7, б):

S М_B = R_Ax·AB –F ₁· СB + F ₂· DB­ = 0;

R_Ax= (F ₁· СB –F ₂· DB­)/ AB = (10·0,25 – 4·0,05)/0,3 = 7,66 кН;

S X = R_Ax – F ₁ + F ₂ –R_Bx = 7,66 – 10 + 4 ­– 1,66 = 0.

S X = 0, следовательно, R_Ax и R_Bx найдены верно.

5. Строим эпюру крутящих моментов М_z (рис. 7, в).

6. Определяем в характерных сечениях значения изгибающих моментов М_х в вертикальной плоскости и М_у в горизонтальной плоскости и строим эпюры (рис. 7, г, д):

М_Сх= R_Ay·АС = 3,6·0,05 = 0,18 кН·м;

М_Dх= R_Ay·AD – F_{r 1}· СD = 3,6 ·0,25 – 4·0,2 = 0,1 кН·м;

М_Сy= R_Ax·АС = 7,66·0,05 = 0,383 кН·м;

М_Dу= R_Aх · AD – F ₁· СD = 7,66·0,25 – 10·0,2 = – 0,085 кН·м.

7. Вычисляем наибольшее значение эквивалентного момента по заданным гипотезам прочности. Так как в данном примере значение суммарного изгибающего момента в сечении С больше, чем в сечении D,

M_ИС = кН·м;

M_ИD = кН·м;

то сечение С и является опасным. Определяем эквивалентный момент в сечении С.

Вариант а)

M _эквIII = кН·м.

Вариант б)

M _эквIV = кН·м.

8. Определяем требуемые размеры вала по вариантам а и б. По варианту а

мм.

По варианту б

мм.

Принимаем d _вала = 35 мм.

Задание. Для стального вала постоянного поперечного се­чения с двумя зубчатыми колесами (рис. 2, схемы 0 — 9), передающе­го мощность Р, кВт, при угловой скорости w, рад/с (числовые значения этих величин для своего варианта взять из табл. 1),

1) определить вертикальные и горизонтальные составляющие реакций подшипников;

2) построить эпюру крутящих моментов;

3) построить эпюры изгибаю­щих моментов в вертикальной и горизонтальной плоскостях;

4) опреде­лить диаметр вала, пола­гая F_r1 = 0,4 F ₁; F_r2 = 0,4 F ₂

Для схем 1, 3, 5, 7, 9 (рис. 2) расчет производить по гипотезе потенциальной энергии формоизменения, для схем 0, 2, 4, 6, 8 — по гипотезе наиболь­ших касательных напряжений. Все размеры на рис. 2 (схемы 0 — 9) даны в миллиметрах.

При гипотезе наибольших касательных напряжений (третья гипотеза)

.

При гипотезе потенциальной энергии формоизменения (пятая гипотеза)

.

Рис. 2. Схемы 0 – 9

Таблица 1. Исходные данные для расчета стержней на изгиб с кручением.

№ схемы (рис.2)	№ строки	[s], МПа	Р, кВт	ω, рад/с	№ схемы (рис.2)	№ строки	[s], МПа	Р, кВт	ω, рад/с

---

Дата добавления: 2015-07-11