Из формулы Вина следовали законы смещения и Стефана-Больцмана.

В низкочастотной области кривая аппроксимируется формулой Рэлея-Джинса:

(9-14)

Рис.9-5

Формула Рэлея -Джинса получена исходя из того, что равновесное (черное) излучение в замкнутой полости с зеркальными стен­ками обусловлено совокупностью пространственных стоячих электромагнитных волн. Частоты этих волн должны удовлетворять определенным усло­виям, подобным условиям для частот стоячих упругих волн в стержнях. Рэлей показал, что число таких собствен­ных частот на единицу площади зеркального ящика в интервале частот от v до v+dv, равно 2πν² /c² . По закону равного распределения энергии средняя энергия каждого осциллятора равна kT. Отсюда → формула (9-14).

Формула Рэлея -Джинса противоречила закону смещения Вина и закону Стефана -Больцмана: r*_v моно­тонно возрастает с ростом частоты, не имея максимума, а интегральная испускательная способность абсолют­но черного тела при любой темпера­туре обращается в бесконечность, т.к. согласно (9-10):

Согласно квантовой гипотезе (введена Планком), энергия осциллятора может принимать только определенные дискретные значения, равные целому числу элементарных порций - квантов энергии.

Найдем спектральную плотность излучения, используя гипотезу Планка.

Спектральная плотность равна:

r_ν= число таких собствен­ных частот x средняя энергия осциллятора = (2πν² /c²)

(9-15)

Найдем . Учтем, что энергия осциллятора пропорциональна частоте, ε_ν0 =hv. Воспользовавшись формулой Больцмана, можно зайти, какая часть осцилляторов обладает энергией W =nε_ν0 =nhv:

Тогда средняя энергия молекулы , равная отношению суммы энергий к сумме числа осцилляторов, определяется выражением

или, обозначив

получаем:

(9-16)

При большом п (применяется формула Стирлинга ) :

Окончательно для средней энергии (9-16) получим:

А для спектральной плотности энергетической светимости согласно (9-15):

(9-17)

Здесь h - универсальная постоянная, получившая название постоянной Планка. Формула (9-17) получила название формулы Планка для испускательной способности абсолютно черного тела.

В области малых частот, т. е. при условии, что квант энергии hν во много раз меньше средней энергии осциллятора, формула Планка совпадает с формулой Рэлея - Джинса→ если и из формулы Планка (9-17) следует формула Рэлея – Джинса.

В области больших частот hv >> kT (единицей пренебрегается) получим формулу Вина для r_ν.

Из формулы Планка можно получить закон Стефана – Больцмана. Интегральная испускательная способность абсолютно черного тела:

Обозначим тогда

Здесь:

(9-17)

постоянная Стефана-Больцмана, так как:

Из (10-17) получим постоянную Планка:

Из соотношения (10-17) Планк впервые определил величину по­стоянной h. По современным данным h =6,63·10^-34 Дж·с.

Из формулы Планка можно также получить и закон смещения Вина. Вывод закона Вина из формулы Планка (см. пример) дает:

---

Дата добавления: 2015-07-11