Теоретический материал

ЗАНЯТИЕ 4. Дифференциальные уравнения первого порядка.

План:

1. Однородные уравнения.

2. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.

Литература

1. Баврин, И.И. Высшая математика: учеб. для студ. естественно-научных спец. пед. вузов/ И.И. Баврин. - М.: Издательский центр «Академия»., 2004.– 616 с.
2. Бугров, Я.С. Высшая математика: учеб. для вузов: В 3 т. Т.3. Дифференциальные уравнения. Ряды. Функции комплексного переменного. / Я. С. Бугров, С. М. Никольский. – 6-е изд. стереотип. – М.: Дрофа, 2005. – 511 с.
3. Данко П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: учеб. пособ. для вузов. В 2 ч. Ч. 2. / П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова. – М.: Мир и Образование, 2003. –416 с.
4. Омельчнко, В. П. Математика: учебное пособие / В. П. Омельченко, Э. В. Курбатова. – Ростов н/Д: Феникс, 2011. – 380 с.
5. Самойленко, А. М. Дифференциальные уравнения. Практический курс: учеб. пособие для студ. вузов /А. М. Самойленко, С. А. Кривошея, Н. А. Перестюк. – М.: Высшая школа, 2006.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ

Однородные уравнения.

Опр. Функция f(x, y) называется однородной n – го измерения относительно своих аргументов х и у, если для любого значения параметра t (кроме нуля) выполняется тождество:

Пример 1. Является ли однородной функция

Таким образом, функция f(x, y) является однородной 3- го порядка.

Опр. Дифференциальное уравнение вида называется однородным, если его правая часть f(x, y) есть однородная функция нулевого измерения относительно своих аргументов.

Опр. Любое уравнение вида является однородным, если функции P(x, y) и Q(x, y) – однородные функции одинакового измерения.

Решение любого однородного уравнения основано на приведении этого уравнения к уравнению с разделяющимися переменными.

Пример 2. Решить уравнение .

Введем вспомогательную функцию u.

.

Отметим, что введенная нами функция u всегда положительна, т.к. в противном случае теряет смысл исходное дифференциальное уравнение, содержащее .

Подставляем в исходное уравнение:

Разделяем переменные:

Интегрируя, получаем:

Переходя от вспомогательной функции обратно к функции у, получаем общее решение:

Линейные дифференциальные уравнения 1 порядка.

Опр. Дифференциальное уравнение 1 порядка называется линейным относительно неизвестной функции и ее производной, если оно может быть записано в виде:

при этом,

если правая часть Q(x) равна нулю, то такое уравнение называется линейным однородным дифференциальным уравнением,

если правая часть Q(x) не равна нулю, то такое уравнение называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением.

P(x) и Q(x)- функции непрерывные на некотором промежутке a < x < b.

Общим решением линейного однородного дифференциального уравнения первого порядка вида

является .

Общим решением линейного неоднородного дифференциального уравнения первого порядка вида

является

Дата добавления: 2015-07-14