|
Читайте также: |
Общее уравнение второго порядка
является уравнением линии и поверхности. Первые слагаемые этого уравнения представляют квадратичную форму
.
Ортогональным преобразованием перейдем к новым переменным и запишем квадратичную форму 
в каноническом виде. Затем параллельным переносом осей координат приведем общее уравнение к каноническому виду поверхности второго порядка или кривой, если 
.
Множество точек плоскости 
, удовлетворяющих общему уравнению, называется кривой второго порядка. В этом случае каноническое уравнение может принимать один из следующих видов:
1) 
;
2) 
;
3) 
.
Примеры решения задач
Задача. Написать каноническое уравнение кривой второго порядка:
.
Решение. Матрица квадратурной части многочлена второй степени равна
.
Характеристический многочлен
.
Собственные числа матрицы: 
; 
.
Собственные векторы:
: 
, 
, 
, так как 
.
: 
, 
, 
.
Выполнив преобразование 
, 
, получим:
.
Выделим полный квадрат по каждой из переменных 
и 
:
.
Заменой переменных 
, 
, соответствующей сдвигу по каждой из координатных осей, получим:
или 
.
Это каноническое уравнение гиперболы.
Ответ. .
Множество точек пространства 
, удовлетворяющих общему уравнению, называется поверхностью второго порядка. Каноническое уравнение в этом случае принимает один из следующих видов:
· 
;
· 
;
· ;
· ;
· .
Пример. Написать каноническое уравнение поверхности второго порядка
.
Решение. Матрица квадратурной части многочлена второй степени равна
.
Ее собственные числа: 
, 
, 
, а собственные единичные векторы:
, 
, 
.
Выполнив преобразование
, 
,
,
получим 
.
Преобразование сдвига выполняем лишь по переменной 
:
.
Второе преобразование координат 
, 
, 
, окончательно получаем каноническое уравнение гиперболического параболоида 
.
Ответ. .
Задачи для самостоятельного решения
Написать каноническое уравнение кривой второго порядка, определить ее тип:
1. 
. Ответ. Эллипс 
.
2. 
. Ответ. Парабола 
.
3. 
. Ответ. Гипербола 
.
4. 
. Ответ. Эллипс 
.
5. 
. Ответ. Парабола 
.
Написать каноническое уравнение поверхности второго порядка и определить ее тип:
6. 
.
Ответ. Эллипсоид 
.
7. 
.
Ответ. Гиперболический параболоид 
.
8. 
.
Ответ. Двуполостный гиперболоид 
.
9. 
.
Ответ. Эллиптический параболоид 
.
10. 
.
Ответ. Параболический цилиндр 
.
11. 
.
Ответ. Эллиптический цилиндр 
.
12. 
.
Ответ. Однополостный гиперболоид 
.
Список литературы
1. Исхаков Э.М. Аналитическая геометрия и линейная алгебра: Учебное пособие. Казань: Изд-во Казан. гос. техн. ун-та, 2008. 186 с.
2. Гусак А.А. Задачи и упражнения по высшей математике. В 2 ч. Ч.1. Для вузов. Минск: Высшэйшая шк., 1988. 247 с.
3. Заборская А.П., Хайруллина С.П. Определители и системы линейных алгебраических уравнений. Казань. 1982. 40 с.
4. Амирханова С.Г., Дараган М.А., Дорофеева С.И. Линейная алгебра: Практикум. Казань: Изд-во Казан. гос. техн. ун-та, 2003.–63с.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Определители. Свойства определителей............................ 3
Основные теоретические сведения................................... 3
Основные свойства определителей................................... 5
Приведение определителя к треугольному виду.............. 8
Решение систем уравнений с помощью определителей
(по формулам Крамера)........................................................ 9
Основные теоретические сведения................................... 9
Примеры решения задач.................................................... 11
Задачи для самостоятельного решения............................ 20
Матрицы. Операции над матрицами................................. 22
Основные теоретические сведения................................... 22
Операции над матрицами.................................................. 23
Многочлены от матриц...................................................... 24
Обратная матрица.............................................................. 24
Примеры решения задач.................................................... 26
Задачи для самостоятельного решения............................. 35
Дата добавления: 2015-11-26; просмотров: 62 | Нарушение авторских прав