Читайте также: |
|
Определение. Ненулевой вектор , удовлетворяющий условию , называется собственным вектором преобразования . Число – собственное значение этого преобразования, причем собственный вектор соответствует собственному значению .
Между всеми линейными преобразованиями пространства и всеми квадратными матрицами порядка существует взаимно-однозначное соответствие, зависящее от выбранного в пространстве базиса . Говорят, что матрица , задает линейное преобразование в базисе , если
.
Определение. Определитель называется характеристическим многочленом матрицы :
,
а его корни – характеристическими корнями.
Характеристические корни линейного преобразования являются собственными значениями этого преобразования.
Примеры решения задач
Задача 1. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы:
1) .
Решение. Составим характеристическое уравнение или ; .
Собственные значения ; .
Найдем собственный вектор:
При .
Следовательно, решение этой системы ; . Собственный вектор .
Пусть , тогда собственный вектор .
При система примет вид
.
Решение системы: , . Собственный вектор при имеет вид .
Ответ. , ; ; .
2) .
Решение. Собственные значения – решения характеристического уравнения:
или , являются кратными: .
Найдем собственный вектор, соответствующий собственному значению . Решением системы уравнений
является ; ; , т.е. собственный вектор . При имеем или .
Ответ. ; .
3) .
Решение. Характеристическое уравнение:
,
разложением по третьему столбцу получим: , ; тогда при так как –
любое число, обозначим .
,
если , тогда , собственный вектор: .
4) .
Решение.Характеристическое уравнение для этой матрицы имеет вид:
.
Собственные числа ; . Для каждого составим систему:
: :
Решение первой системы: , , , , т.е. собственный вектор . Вторая система равносильна системе следовательно, ее решение: ; ; ; .. Собственный вектор – . При , собственные векторы примут вид , .
Ответ. ; ; , .
Задачи для самостоятельного решения
Найти собственные числа и собственные векторы матриц.
1. . | 2. . |
3. . | 4. . |
5. . | 6. . |
7. . | 8. . |
9. . | 10. . |
Ответы: 1. , ; , ; , .
2. , ; , .
3. , .
4. , ; , .
5. , ; , .
6. , .
7. , .
8. , ; , ; , .
9. , ; , .
10. , .
Квадратичные формы
Определение. Квадратичной формой называется многочлен
,
где – действительные постоянные, – переменные.
Матрица называется матрицей квадратичной формы.
Пример. Записать матрицу квадратичной формы
.
Решение.Диагональные элементы матрицы квадратичной формы равны коэффициентам при квадратах переменных, т.е. 1; 2; 5, а другие – половинам соответствующих коэффициентов квадратичной формы.
Перепишем ее в виде:
,
поэтому
.
Так как матрица симметрическая, то всякая квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду. Коэффициенты – собственные значения матрицы.
Определение. Каноническим видом квадратичной формы называется
,
т.е. все при .
Квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду произвольными неособенными линейными преобразованиями переменных, например, способом Лагранжа. Таких преобразований бесконечно много. Однако хотя коэффициенты и не совпадают, число положительных и отрицательных коэффициентов одно и то же. В системе координат с ортонормированным базисом преобразования должны быть ортогональными.
В канонической квадратичной форме число коэффициентов , отличных от нуля, равно рангу квадратичной формы
.
Примеры решения задач
Задача 1. Методом Лагранжа (выделения полных квадратов) привести к каноническому виду квадратичную форму
.
Решение. Первое преобразование: , , . Тогда получим
.
Второе преобразование: ; ;
и форма принимает канонический вид:
, , .
Ответ. .
Задача 2. Найти ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму к каноническому виду.
Решение. Диагональные элементы матрицы квадратичной формы: 3, 2, 1, остальные элементы: ; ; . Составим характеристическое уравнение
;
;
или .
Корни: ; ; . Найдем собственные векторы
:
при ;
:
или ;
:
, .
Нормируем систему векторов , , ; ; ; .
Следовательно, , , .
Формулы преобразования координат:
, ,
.
Квадратичная форма: .
Ответ. , ,
, .
Задача 3. Привести к каноническому виду квадратичную форму:
.
Решение. Характеристическое уравнение
,
, .
Решение характеристического уравнения: ; . Канонический вид: .
Найдем матрицу ортогонального преобразования
:
, ; ;
: .
, так как
Корень кратности два, следовательно, этому собственному значению соответствуют два собственных вектора. Первый выбираем произвольно. Пусть ; , , тогда .
Второй выбираем так, чтобы , т.е. .
, ,
– любое; , , .
Матрица преобразования:
.
Формулы преобразования координат:
;
; .
Подставляем в исходную матрицу квадратичную форму:
.
Ответ. .
Задачи для самостоятельного решения
Методом Лагранжа привести к каноническому виду квадратичные формы:
1. ;
2. ;
3. ;
Ответ: 1) ;
2) ;
3) .
Найти ортогональное преобразование, приводящее следующие формы к каноническому виду, и написать этот канонический вид:
4. .
Ответ. ,
5. .
Ответ. ,
6. .
Ответ. ,
7. .
Ответ. ,
Кривые и поверхности второго порядка
Дата добавления: 2015-11-26; просмотров: 61 | Нарушение авторских прав