Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Основные свойства определителей

Читайте также:
  1. I.Основные положения
  2. II. Основные задачи
  3. II. Основные принципы и правила служебного поведения
  4. III. Гражданская война: причины, основные этапы, последствия.
  5. III. Основные направления деятельности по регулированию миграционных процессов в Российской Федерации
  6. III. Основные направления функционирования общенациональной системы выявления и развития молодых талантов
  7. III. Теоретическая и основные части работы

Основные теоретические сведения

Матрица – прямоугольная таблица чисел, имеющая строк и столбцов. Обозначение: матрицы обозначаются заглавными буквами латинского алфавита, а элементы матрицы – соответствующими строчными, с указанием индексов: , номер строки,
j – номер столбца ( – читается "а два-три", не двадцать три, и означает, что элемент находится во второй строке, третьем столбце)

.

Числа и называются порядками матрицы. Если , матрица называется квадратной.

Определителем второго порядка, соответствующим матрице называется число .

Обозначение:

(det – от латинского determinо – определяю; – греческая буква "дельта").

Определитель второго порядка равен разности произведений элементов, лежащих на главной и побочной диагонали:

побочная диагональ главная диагональ

Определителем -го порядка называется число

,

где – минор, определитель порядка, полученный из данного определителя вычеркиванием -й строки и -го столбца.

Алгебраическое дополнение .

Определителем третьего порядка называется число, определяемое равенством:

.

Заметим, что каждое слагаемое в правой части уравнения является произведением трех элементов, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца, причем слагаемые, состоящие из элементов главной диагонали и элементов, являющихся вершинами треугольников, с основаниями, параллельными главной диагонали, записаны со своим знаком; слагаемые, состоящие из произведений элементов побочной диагонали и элементов в вершинах треугольников, с основаниями, параллельными побочной диагонали – с обратным знаком.

Схематически правило треугольников изображено на рисунке.

Произведения записываются со своим знаком Произведения записываются с противоположным знаком

Определитель -го порядка равен сумме произведений элементов какой-либо строки (или столбца) на их алгебраические дополнения.

Основные свойства определителей

Строки будем называть горизонтальными, а столбцы – вертикальными рядами.

1. Свойство инвариантности (равноправности) рядов: при транспонировании (замене строк столбцами) величина определителя не изменяется, .

2. Свойство антисимметрии: при перестановке двух параллельных рядов определитель меняет знак на противоположный:

;

;

.

3. Умножение всех элементов какого-либо ряда на одно и то же число равносильно умножению на определителя, т.е. общий множитель всех элементов можно выносить за знак определителя:

;

.

3а. Если элементы некоторого ряда равны нулю, то и определитель равен нулю:

;

.

3б. Если элементы одного ряда пропорциональны элементам другого параллельного ряда, то определитель равен нулю (если коэффициент пропорциональности равен единице, то элементы соответствующих параллельных рядов равны):

.

4. Если каждый элемент некоторого ряда представляет сумму двух слагаемых, определитель равен сумме двух определителей, в одном из которых в том же ряду стоят первые слагаемые, а в другом – вторые. Все остальные ряды остаются без изменений:

.

5. Свойство линейности. Пусть строка является линейной комбинацией строк и с коэффициентами и , если . Рассмотрим случай :

.

Итак, если к элементам какого-либо ряда прибавить элементы других параллельных рядов, помноженных на общий множитель, величина определителя не изменится.

5а. Если строка (столбец) является линейной комбинацией параллельных строк (столбцов), то определитель равен нулю.

6. Сумма произведений какого-либо ряда на алгебраическое дополнение другого параллельного ряда равна нулю:

.


Дата добавления: 2015-11-26; просмотров: 64 | Нарушение авторских прав



mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.008 сек.)