Основные способы вычисления углового ускорения при плоском движении

При вычислении ускорений точек фигуры при плоском движении необходимо знать угловое ускорение. Рассмотрим приемы его определения.

Известна функциональная зависимость угла поворота от времени, т.е. . Тогда угловое ускорение определяется по определению
.
Угловое ускорение можно найти путем проецирования на оси координат известного по направлению ускорения, например, в точке B ускорение направлено вдоль оси y, (рис. 4.17) если ускорение какой-либо другой точки A и угловая скорость фигуры известны или их можно вычислить предварительно.

Запишем ускорение точки B
,
тогда проецируя обе части этого равенства на ось Ox, перпендикулярную , получаем соотношение, из которого можно определить угловое ускорение.

Пример 4. Найти угловое ускорение шатуна AB кривошипно-шатунного механизма (рис. 4.18 а) если известно, что кривошип длиной r = 0.5 м вращается с угловой скоростью = 2 c^-1 в сторону, обратную вращению часовой стрелки. Длина шатуна AB = 2r, угол . Определить ускорение ползуна B. Решение. Строим схему механизма в выбранном масштабе (рис. 4.18 а). Вычислим модуль скорости точки A кривошипа OA: . Вектор перпендикулярен OA и направлен в сторону вращения кривошипа. Модуль ускорения точки A кривошипа () . Вектор ускорения точки A направлен из точки A к точке O. Мгновенный центр скоростей шатуна AB находится как точка пересечения перпендикуляров, проведенных из точек A и B к их скоростям (точка P), пользуясь масштабом длин, измеряем отрезки АР = 1.3, ВР = 1.3, тогда . Приняв точку A за полюс, определим ускорение в точке B . Нормальное ускорение точки B шатуна AB в ее вращательном движении вокруг полюса A направлено по оси шатуна от точки B к полюсу A, а его модуль . Касательное ускорение точки B шатуна AB в ее вращательном движении вокруг полюса A направлено по прямой, перпендикулярной AB и равно . Ускорение полюса B направлено по оси Ox. Тогда, проецируя на ось Oy, получим . Из геометрии задачи определим угол (рис. 4.18 б). Из OAC: ; из АВС: . Тогда . Подставляя все полученные значения в (2), получим . Отсюда . Проецируя (1) на ось Ox, получим Знак минус показывает, что ускорение ползуна направлено против оси Ox. Ускорение ползуна B можно получить построением многоугольника ускорений (рис. 4.19). Для построения многоугольника ускорений, определяющего , воспользуемся тем что прямая, по которой направлено ускорение , известна – ось Ox. Отложим из точки B ускорение полюса по его направлению в выбранном масштабе (1:1); из его конца отложим , направленное параллельно оси шатуна AB от точки B к полюсу A, а из его конца проведем прямую перпендикулярную AB, т.е. параллельную неизвестному ускорению , до пересечения с прямой, по которой направлено ускорение , т.е. с осью Ox. Тогда, измеряя полученный отрезок на оси Ox, получим ускорение ползуна : , что соответствует значению, полученному аналитически. Ускорение, как замыкающая многоугольника, направлено против оси Ox.

Эллипсографом называют механизм, в котором точка A его линейки (рис. 4.20) движется только по оси Ox, а другая B – по оси Oy. Линейка эллипсографа обычно приводится в движение вращением кривошипа OC вокруг оси O, причем точка C лежит на середине линейки AB.

Пример 5. Найти для заданного положения эллипсографа скорость и ускорение точек B и C, если АВ = 30 см, АС = 15 см, = 10 м/с, = 0, = 30. Решение. Построим схему эллипсографа в масштабе 1:2 в заданном положении (рис. 4.21 а). Линейка AB совершает плоскопараллельное движение. Положение точки P мгновенного центра скоростей находится на пересечении перпендикуляров к скоростям в точках A и B. Тогда, угловая скорость звена AB . Модуль скорости точки B: . Расстояние AP определяется из треугольника BPA: . В соответствии с этим . Вектор скорости , направлен перпендикулярно отрезку BP вниз – что соответствует направлению вращения звена AB. Вектор скорости направлен перпендикулярно отрезку CP по направлению вращения звена AB. Для проверки определим скорость точки B другим способом. Воспользуемся основной теоремой кинематики о равенстве проекций точек на ось, проведенную через эти точки. Направим ось Ox вдоль линейки AB, в направлении от A к B. Имеем: , или как видно из (рис. 4.21 а) , отсюда . Определим ускорение точки B. Согласно теореме , где направлено вдоль от точки B к A; и направлено перпендикулярно AB. Выберем оси xBy (рис. 4.21 б) и спроецируем на ось Ox: . Откуда . Получаем , . Проектируя на ось Oy, получаем: . Знак "минус" показывает, что ускорение в точке B направлено против оси Oy. Определим ускорение точки C: . Поскольку = 0, модуль будет равен . Угол между и определим по формуле: .

Теперь мы представляем, что такое скорость и можем решать многие физические задачи. Вопрос о скорости был камнем преткновения для древних греков, и потребовалось открытие новой области математики, помимо геометрии и алгебры, которые были известны и грекам, и арабам, и вавилонянам. Задачи на определение скорости движения какого-либо тела были неразрешимы для древних греков. Кроме того, их сбивали с толку многочисленные "парадоксы". Вот один из них, придуманный Зеноном, который хорошо показывает, насколько была сложена в то время проблема скорости движения. "Предположим, - говорил он, - что Ахиллес бегает в десять раз быстрее черепахи. Но тем не менее он никогда не перегонит ее. Действительно, пусть в начале состязания черепаха находилась в 100 метрах впереди Ахиллеса. Тогда ко времени, когда Ахиллес пробежит эти 100 метров, черепаха окажется в 10 метрах впереди него. Пробежав и эти 10 метров, Ахиллес увидит черепаху в 1 метре впереди себя. За то время, пока он пробежит этот метр, черепаха пройдет 10 сантиметров и т.д. до бесконечности. Следовательно, в любой момент черепаха будет впереди Ахиллеса, и он ее никогда не сможет перегнать." В чем здесь ошибка? Конечный интервал времени можно разделить на бесконечное число частей точно так же, как и конечный отрезок длины, если последовательно делить его пополам. Но бесконечное число этапов до того места, где Ахиллес поравняется с черепахой, вовсе не означает бесконечное количество времени. Этот пример показывает, с какими трудностями приходилось сталкиваться в проблеме определения скорости.
Определение скорости содержит некую новую идею, которая была недоступна грекам в ее общей форме. Она заключается в том, чтобы малые расстояния разделить на соответствующие малые отрезки времени и посмотреть, что произойдет с частным, если отрезок времени брать все меньше и меньше. Впервые эта идея была высказана независимо Ньютоном и Лейбницем и явилась основой новой области математики – дифференциального исчисления. Оно возникло в связи с описанием движения, и первым его приложением был ответ на вопрос: "Что означает 90 км/ч?. Ответу на этот вопрос была посвящена эта лекция.

5.1 Основные понятия

5.2 Сложение скоростей

5.3 Абсолютная и относительная производная от вектора. Формула Бура

5.4 Сложение скоростей точки в общем случае переносного движения

5.5 Сложение ускорений точки в общем случае переносного движения

5.6 Ускорение Кориолиса

Основные понятия

Любое движение точки можно считать сложным, состоящим из нескольких движений. Например, движение лодки по реке относительно земли можно считать сложным, состоящим из движения по воде и вместе с текущей водой.

В простейшем случае сложное движение точки состоит из относительного и переносного движений. Определим эти движения. Пусть имеем две системы отсчета, движущихся друг относительно друга. Если одну из этих систем , , , (рис. 5.1) принять за неподвижную, то вторая система отсчета Охуz будет двигаться относительно первой. Движение точки M относительно подвижной системы отсчета Охуz называется относительным. Характеристики этого движения – траектория, скорость, ускорение – называются относительными. Их обозначают индексом r; для скорости , для ускорения .

Движение точки M относительно неподвижной системы отсчета , , , , называется абсолютным или сложным. Траектория, скорость и ускорение этого движения называют абсолютным. Скорость и ускорение абсолютного движения обозначают буквами и без индексов. Переносным движением точки M называют движение, которое она совершает вместе с подвижной системой отсчета, как точка, жестко скрепленная с этой системой в рассматриваемый момент времени. Вследствие относительного движения движущаяся точка M в различные моменты времени совпадает с различными точками тела S, с которым скреплена подвижная система отсчета. Переносной скоростью и переносным ускорением являются скорость и ускорение той точки тела S, с которой в данный момент совпадает движущаяся точка M. Переносные скорость и ускорение обозначают , .

Дата добавления: 2015-12-08