И решение уравнений с комплексными числами

Пример 10. Изобразить на комплексной плоскости множество точек, заданных неравенствами

а) .

Решение. так как , то заданное неравенство примет вид

Эти неравенства задают все точки плоскости, лежащие вне круга радиуса , и одновременно внутри круга , включая их границы с общим центром в начале координат (рис. 9).

б) .

Решение. Имеем .

; , то есть имеем область, ограниченную двумя лучами и , где и (рис. 10).

Пример 11. На комплексной плоскости найти множество точек, удовлетворяющих неравенству .

Решение. тогда по формуле (1.1) имеем

; ;

;

.

Разделив последнее неравенство на 12, получим неравенство , которое задает область внутри эллипса (границы не входят) (рис. 11).

Пример 12. Выяснить геометрический смысл соотношения .

Решение. Имеем

, ;

.

Из последнего неравенства следует, что . Далее возведем обе части неравенства в квадрат:

;

— гипербола.

Отсюда, используя условие , получим, что область лежит внутри левой ветви гиперболы (рис.12).

Пример 13. Найти комплексное число z из уравнения .

Решение. Пусть ; . Тогда имеем .

Учитывая, что два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их вещественные и мнимые части, тогда полученное уравнение равносильно системе уравнений:

Отсюда получим

.

Таким образом, решением уравнения является число .

Пример 14. Найти комплексное число z из уравнения .

Решение. Пусть .

Тогда ; .

Подставим найденные значения в уравнение:

.

Приравняем к нулю вещественную и мнимую часть комплексного числа, стоящего в левой части:

Из второго уравнения получаем: или .

1)

2)

Таким образом, получим три решения данного уравнения:

УПРАЖНЕНИЯ

1. Для заданных комплексных чисел и найти а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) отметить заданные числа и полученные результаты на комплексной плоскости:

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

2. Записать комплексные числа в тригонометрической форме, найти модуль, аргумент и главное значение аргумента:

1) ; 2) ; 3) 2; 4) –2; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) ; 10) ; 11) ; 12) .

3. Определить и отметить на комплексной плоскости точки z, для которых выполнены следующие условия:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ;

6) ; 7) ; 8) ; 9) ;

10) ; 11) ; 12) ; 13) ;

14) ; 15) .

4. Вычислить, не пользуясь тригонометрической формой комплексного числа:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) ; 10) .

5. Вычислить, пользуясь тригонометрической формой комплексного числа:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6) ; 7) .

6. Упростить выражения:

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

7. Найти комплексное число z, если и .

8. Известно, что . Оценить .

9. Найти вещественные числа x и y из уравнений:

1) ; 2) ;

3) .

10. Вычислить.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

11. Решить алгебраические уравнения с комплексными корнями.

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ; 7) .

12. Вычислить.

1) ; 2) .

13. Найти комплексные числа из уравнений.

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ; 7) .

14. Найти все комплексные числа, куб которых является вещественным числом, а модуль равен единице.

ОТВЕТЫ

1. 1) ; ; ; ; ; .

2) ; ; ; ; ; .

3) 3; 3; 9; ; ; .

4) –1; ‑1; 3; ; ; .

2. 1) ; ; ; ;

2) ; 3) ; 4) ; 5) ;

6) ; 7) ; 8) ;

9) ; 10) ;

11) ; 12) .

3. Точки z лежат

1) вне круга радиуса 5 с центром в начале координат ;

2) внутри круга радиуса 3 с центром в точке ;

3) вне круга радиуса 2 с центром в точке , включая границы ;

4) на окружности радиуса 5 с центром в точке (3, 4) ;

5) справа от прямой ;

6) ниже прямой , включая эту прямую ;

7) на эллипсе с фокусами и полуосями , ;

8) на гиперболе ;

9) на перпендикуляре к отрезку, соединяющему точки и и проходящему через середину этого отрезка ;

10) слева от прямой , включая эту прямую ;

11) внутри угла, ограниченного лучами и с вершиной в начале координат ;

12) на луче, выходящем из точки под углом к положительному направлению оси ;

13) внутри угла с вершиной в точке , ограниченного лучами, образующими с осью углы и ;

14) вне круга радиуса 2 с центром в точке ;

15) на параболе .

4. 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) –556; 6) ; 7) ;

8) ; 9) 2; 10) 46.

5. 1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) –32; 6) ; 7) .

6. 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

7. ; .

8. .

9. 1) ; ; 2) ; ; 3) ; .

10. 1) ; ; ;

2) 1; ; ; ; ‑1; ; ; ;

3) , где ; ; 4) ; ;

5) , где ; ;

11. 1) ; 2) ;

3) ; , где ; ; ; ;

4) ; ; 5) ; 6) ; ; 7) .

12. 1) , где ; ; ;

2) , где ; ; ; .

13. 1) 1/3;

14. .

Дата добавления: 2015-11-26