Достаточный признак локального экстремума функции двух переменных

Теорема 3.8. Если функция в окрестности точки является непрерывной и имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно, и частные производные первого порядка в этой точке равны нулю, т. е.

, то: 1) если , ,

где , , ,то является точкой минимума;

2) если , то является точкой максимума;

3) если , то не является точкой экстремума;

4) если , то данный признак не позволяет решить вопрос об экстремуме функции в этой точке (требуются дополнительные исследования).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Судить о поведении функции в некоторой окрестности точки будем по знаку величины приращения функции в этой точке. Если полное приращение функции для любой точки окрестности больше (меньше) нуля , то - точка минимума (максимума) (рис. 49).

Согласно формуле Тейлора приращение функции равняется

,где .

По условию теоремы частные производные первого порядка в точке равны нулю, т. е. эта точка является стационарной. Поэтому

.

Тогда в первом приближении с учетом только одного первого отличного от нуля слагаемого в точке равно .

Запишем более подробно дифференциал второго порядка

.

Данный дифференциал представляет собой квадратичную форму относительно дифференциалов независимых переменных . Его можно записать в виде .

По критерию Сильвестра квадратичная форма является определенно положительной, если все ее главные миноры положительные, т. е.

.В этом случае , т. е. выполняются условия локального минимума в точке Û .

Если , то .

Тогда точка будет являться точкой локального максимума. Следовательно, для того, чтобы в точке был максимум дифференциал должен быть отрицательным . Согласно критерию Сильвестра данная квадратичная форма будет отрицательно определенной, если

.

Если для квадратичной формы минор второго порядка , то квадратичная форма, а следовательно и приращение функции не являются знакоопределенными в окрестности точки и эта точка не является точкой локального экстремума.

Если же , в точке равен нулю, то знак приращения будет определяться дифференциалом третьего порядка , который является более высокого порядка малости по сравнению с . Для решения вопроса об экстремуме функции в этом случае необходимы дальнейшие исследования..

2.Метод Эйлера численного интегрирования дифференциальных уравнений.

Метод Эйлера является самым простым из множества методов численного интегрирования дифференциальных уравнений.

Пусть для дифференциального уравнения на отрезке требуется решить задачу Коши, т. е. необходимо найти решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальным условиям , где - некоторое заданное значение, .

Разобьем отрезок на n элементарных отрезков длиной с помощью точек . На каждом элементарном отрезке заменим интегральную кривую касательной к этой кривой (рис. 85) и найдем приближенные значения решения дифференциального уравнения в этих точках . На первом элементарном отрезке дано значение искомой функции в граничной точке . Найдем приближенное значение функции в правой граничной точке рассматриваемого отрезка.

Получаем .Данное значение является исходным для нахождения значения искомой функции на отрезке , где , .

Получаем .

Аналогично вычисляются приближенные значения решения на следующих элементарных отрезках по формулам

.Вычисления продолжаются до тех пор, пока значение х достигнет конечной точки отрезка .

Общая схема расчета состоит в том, что сначала проводят расчет при некотором произвольно выбранном значении n, получают значение искомой функции (частного решения) в конечной точке отрезка интегрирования . Затем увеличивают число элементарных отрезков (обычно в два раза, 2 n). Снова проводят расчет, находят . И сравнивают полученные результаты ,где e - заданная точность расчета.

Если два последовательных приближения отличаются друг от друга менее, чем на заданное значение e, то последнее значение функции (решения) принимается за окончательное. Иначе, число элементарных отрезков увеличивается и расчет продолжается.

Дата добавления: 2015-12-07