Полный дифференциал функции нескольких переменных

Сумма первых двух слагаемых в выражении полного приращения Dz называется полным дифференциалом и записывается

.В частном случае, если функция z = x, то , т. е. . Аналогично при z = y, , т. е. .Учитывая это, полный дифференциал запишем в виде или .

Следовательно, полное приращение функции равняется сумме полного дифференциала и бесконечно малой величины более высокого порядка малости по сравнению с : .

Определение полного дифференциала функции нескольких переменных. Полным дифференциалом функции нескольких переменных называется бесконечно малая функция прямо пропорциональная бесконечно малым приращениям независимых переменных и отличающаяся от полного приращения функции на бесконечно малую функцию более высокого порядка малости по сравнению бесконечно малыми приращениями независимых переменных.

2. Теорема о существовании первообразной функции. Для любой непрерывной функции существует бесконечное множество первообразных функций, отличающихся друг от друга на постоянную величину. Д о к а з а т е л ь с т в о. 1. Покажем, что для функции существует первообразная функция , являющаяся площадью криволинейной трапеции с переменной граничной прямой (рис. 56).

Пусть правая граничная прямая изменяет положение от х до . На этом отрезке непрерывная функция достигает своего наибольшего М и наименьшего m значений , .Очевидно, значение площади элементарной криволинейной трапеции на отрезке удовлетворяет неравенству . Поделим это неравенство на , получим . При наибольшее и наименьшее значения функции на этом отрезке стремятся к одной и той же величине , .

По теореме о промежуточной функции , т. е. является первообразной для функции .

2. Покажем, что для данной функции существует бесконечное множество первообразных функций. Действительно, если к данной функции прибавить любую постоянную величину, то ее производная не изменится , .

3. Покажем также, что любые две первообразные функции отличаются друг от друга на постоянную величину. Пусть и первообразные функции для . Тогда и . Найдем их разность, получим . Если производная функции равна нулю, то функция является постоянной. Следовательно, , где , и .

Дата добавления: 2015-12-07