Формула Тейлора. Остаточный член в форме Лагранжа и Пеано.

Если в некоторой окрестности точки х = а функция y=f(x) имеет конечные производные до (n +1)-го порядка включительно, то для любой точки этой окрестности справедлива формула

, где . . Данное выражение для называется остаточным членом в форме Лагранжа. Если представить x в виде , где , то остаточный член примет вид

. В частном случае, если , , то формула Тейлора примет вид

При n = 0 из формулы Тейлора получается формула теоремы Лагранжа о конечном приращении функции .Найдем , т. е. остаточный член является бесконечно малой функцией по сравнению с . Поэтому его можно кратко записать следующим образом . Данная запись остаточного члена называется в форме Пеано.

№3. Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Числовой ряд – это сумма членов числовой последовательности вида . Если числовой ряд сходится, то предел его k-ого члена равен нулю: ,если , то ряд расходится.

1. Если сходится числовой ряд , то сходящимся будет и ряд . Другими словами, сходящимся будет и ряд без первых m членов. Если к сходящемуся числовому ряду добавить несколько членов (от первого до m-ого), то полученный ряд также будет сходящимся.

2.Если сходится числовой ряд и его сумма равна S, то сходящимся будет и ряд , причем , где A – произвольная постоянная. 3.Если сходятся числовые ряды и , их суммы равны A и B соответственно, то сходящимися будут ряды и , причем их суммы будут равны A + B и A - B соответственно.

Билет 12.

1.

Необходимые условия дифференцируемости функций нескольких переменных.

Теорема.

Если функция нескольких переменных, дифференцируемая в некоторой точке, то она непрерывна в этой точке.

Доказательство. По определению, функция является непрерывной, если . Найдем .Следовательно, непрерывная.

Теорема. Если функция нескольких переменных, дифференцируемая в точке, то она имеет частные производные в этой точке.

Доказательство. Пусть дифференцируемая. Если y = const, то D y = 0. Тогда .

Если x = const, то D x = 0. Тогда .

Дата добавления: 2015-12-07