Читайте также:
|
Данные уравнения в общем случае имеют вид 
, где 
- непрерывные функции.
Разделим уравнение на 
, получим 
, где 
.
Известны два метода решения этих уравнений.
1. Методзамены переменной.
Искомую функцию заменяют на произведение двух функций
, где 
, 
- некоторые неизвестные дифференцируемые функции.
Подставим 
в уравнение, получим 
. Третье слагаемое 
сгруппируем с одним из первых слагаемых, либо с 
, либо с 
. Функции 
и 
входят в уравнение замены симметрично. Пусть объединим первое и третье слагаемые 
.
Искомой является одна функция 
, а введены с помощью замены две 
, 
, поэтому одну из них, пусть , выберем по своему усмотрению так, чтобы 
равнялось нулю. Тогда уравнение распадется на два уравнения, каждое из которых с разделяющимися переменными, 
Необходимо сначала решить первое уравнение, найти функцию 
. Затем подставить эту функцию во второе уравнение и решить его.
Решаем первое уравнение. При решении этого уравнения достаточно найти не общее решение, а одно какое-либо частное решение
Þ 
Þ 
.
Подставим найденную функцию во второе уравнение 
и решим его. Найдем функцию 
.
.
Затем записываем решение исходного уравнения как произведение функций 
.
.
Получена конечная формула для нахождения общего решения линейного уравнения. Однако, при решении примеров, обычно, используют замену 
и повторяют приведенные выше действия.
2. Метод вариации произвольной постоянной.
Для нахождения общего решения неоднородного линейного уравнения 
сначала решают соответствующее однородное уравнение 
.
Данное уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, получим
Þ 
Þ 
.
Далее, произвольную постоянную 
заменяют на функцию 
и ищут решение исходного неоднородного уравнения в виде
.
Теперь, чтобы получить решение уравнения, необходимо найти функцию 
. Найдем производную функции 
.
.
Подставим функцию 
и ее производную в исходное неоднородное уравнение 
.
.
Второе и третье слагаемые в левой части этого уравнения уничтожаются, получается дифференциальное уравнение относительно функции 
с разделяющимися переменными
.
Разделяем переменные и интегрируем
, где С – произвольная постоянная.
Записываем решение исходного неоднородного уравнения 
.
Дата добавления: 2015-12-07; просмотров: 86 | Нарушение авторских прав