Достаточные условия дифференцируемости функции нескольких переменных

Для того, чтобы функция была дифференцируемой в точке М (x, y), она должна быть непрерывной и иметь непрерывные частные производные в этой точке.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Запишем полное приращение функции . В правой части прибавим и вычтем , получим .

По теореме Лагранжа о конечном приращении , где , , где .Тогда .Так как частные производные по условию теоремы непрерывны, то , .

Используя теорему о представлении функции в виде суммы предела и бесконечно малой функции, запишем , , где - бесконечно малые функции при .Учитывая эти выражения, получим или .

В соответствии с определением дифференцируемости функции это означает, что функция является дифференцируемой. Следствие. Для того, чтобы установить дифференцируемость функции, нужно проверить непрерывность частных производных.

Верхние и нижние суммы Дарбу. Утверждение, доказанное выше, дает нам основание рассматривать всюду в дальнейшем только ограниченные на данном сегменте функции (ибо неограниченные функции заведомо не являются интегрируемыми по Риману).

Пусть f(х) - ограниченная на сегменте [ а, b ] функция и {х_k} произвольное разбиение этого сегмента. Так как f(х) ограничена на сегменте [ а, b ], то она ограничена и на любом частичном сегменте [ х_k-1, х_k ], а поэтому у функции f(х) существуют точная нижняя грань m_k и точная верхняя грань M_k на частичном сегменте [ х_k-1, х_k ].Итак, пусть , .Введем фундаментальные понятия верхней и нижней сумм. и будем называть соответственно верхней и нижней суммами функции f(х)

для данного разбиения {х_k} сегмента [ а, b ]. Выясним геометрический смысл верхней и нижней сумм. Рассмотрим снова криволинейную трапецию, т. е. фигуру, ограниченную отрезком [ а, b ] оси Ох, графиком неотрицательной непрерывной функции y=f(х)≥0 и прямым и x=a, x=b, перпендикулярными к оси Ох (рис. 2). Пусть дано любое разбиение {х_k} сегмента [ а, b ]. Число M_k в случае непрерывной функции y=f(х) является ее максимальным значением на частичном сегменте [ х_k-1, х_k ]. Поэтому верхняя сумма равна площади элементарной ступенчатой фигуры, содержащей криволинейную трапецию. Эта площадь заштрихована на рис. 2.

Аналогично нижняя сумма равна площади элементарной ступенчатой фигуры, которая содержится в криволинейной трапеции (рис. 3). Отметим, что число m_k этом случае является минимальным значением функции y=f(х) на частичном сегменте [ х_k-1, х_k ].Анализируя геометрический смысл интегральной суммы, можно ожидать, что интеграл от интегрируемой по сегменту [ а, b ] функции y=f(х) должен равняться числу, которое следует принять за площадь соответствующей криволинейной трапеции. Но к этому же числу будут стремиться верхние и нижние суммы при стремлении диаметра разбиений к нулю. Поэтому представляется вероятным, что для интегрируемости функции необходимо и достаточно, чтобы разность между верхними и нижними суммами стремилась к нулю.

Билет №3

Дата добавления: 2015-12-07