Условие бездефицитности торговли

Торговля бездефицитна только в том случае, если имеют места такие равенства:

а₁₁х а₁₂х а₁₃х≥х₁ *

а₂₁х а₂₂х а₂₃х≥х₂

а₃₁х а₃₂х а₃₃х≥х₃

а₁₁х а₁₂х а₁₃х=х₁ *+

а₂₁х а₂₂х а₂₃х=х₂

а₃₁х а₃₂х а₃₃х=х₃

Доказательство для n=3

Очевидно, что (**)след. верно и(*)

Доказать, что (*)след. докажем и(**)

Допустим(*)верно, а(**) неверно, значит хотя бы одно из неравенств строгое. Поставим его с двумя основаниями из(*)

(a₁₁+a₂₁+a₃₁)x₁+(a₁₂+a₂₂+a₃₂)x₂+(a₁₃+a₂₃+a₃₃)x₃>x₁+x₂+x₃

x₁+x₂+x₃>x₁+x₂+x₃(чзх)

41 Условие

бездефицитности торговли

(*)

торговля безд-на ó

или AX=X

док-во:

n=3, A = , X=

AX=

(**)

Нужно док-ть: (*) ó (**). Очевидно, что (**)=>(*) Док-ть: (*) =>(**)

ОТ противного: пусть(*) верно, а (**) – нет. Тогда хотя бы 1 из нер-в (*) строгое. Пусть нарушается 1е нер-во. Сложим 1 с 2 и 3 нер-вами: (a11+a21+a31)x1+(a12+a22+a32)x2+(a13+a23+a33)x3>x1+x2+x3

x1+x2+x3> x1+x2+x3 – противоречие

42 Собств. Числа и собств. Векторы

Пусть А – кв. матрица. Ненулевой столбец назыв. Собственным вектором матр. А, если для некоторого t выполняется равенство AX=tX

Число t в данном случае назыв. Собственным числом матрицы А, соответствующим соб. В-ру Х.

43 Характеристическое уравнение и характ. Многочлен

Х.Ур-е.: det(A-tE)=0

Х.Мн.: det(tE-A)=(-1)ⁿdet(A-tE)

44 Собств. Числа матр. Совпадают с корнем ее характеристич. Ур-я

t –собств. Число А ó det(A-tE)=0

Д-во:

АХ=tXóAX-tX=0

AX-tEX=0ó(A-tE)X=0 – матричная записть СЛОУ óс-ма имеет ненулев. Реш-е ódet(A-tE)=0

45 Собст. Числа А и А^т совпадают

Д-во:

Det(tE-A^T)=det(tE-A)

Det(tE-A)=det(tE-A)^T= det((tE)^T-A^T)= det(tE-A^T)

46 Подпространство координ-ного простр-ва

Пусть P c Rⁿ, P

P – подпр-во пр-ва Rⁿ, если:

1) €P=> a+b€P

2)a€P, t€R=>ta€P

Примеры:

1)P =

2)P=Rⁿ

3)AX=0, P- мн-во реш-й этой с-мы

4)Собств-е подростр-во матр. А, соответ. Собств. Числу t – набор всех собств. В-ров матрицы + 0 вект.

5)линейная оболочка в-ров а1,..,а_к € Rⁿ

47 Порождающие с-мы векторов

P = <a1,…,ak> => в-ры a1,…,ak порождают подпр-во P

a1,…,ak – порождающая с-ма в-ров подпр-ва Р

48 Сумма и пересеч-е подпр-в

Сумма: Р₁+Р₂=

Пересечение: Р₁ Р₂=

49 Док-во, что и подпростр-в координатного пр-ва явл. Подпр-вами этого пр-ва

1) нужно док-ть: a+b∈P1+P2, (a,b∈P1+P2)

a=a1+a2, где a1

b=b1+b2, где b1

a+b=(a1+b1)( (a2+b2)( => a+b

2)a . Нужно док-ть: ta P1+P2

a=a1+a2, a1

ta=ta1( +ta2 => ta

51. Система векторов а1а2...ак ЛЗ <=>
когда один из векторов системы

является линейной комбинацией остальных векторов этой системы.

52. Всякое подпр-во пр-ва Rn является линейной
оболочкой конечного этих ЛН векторов.

53. Р — (вектор.) пр-во, т. е. Р — под-во какого-то координатного пр-ва.

54. Пусть Р — под-во Rn, и пусть векторы е1, е2... еn — базис Р. Тогда всякий вектор х из

Р одозночно представляется в виде х=х1е1+х2е2+...+хкек,
что числа х1...хк называются координатами вектора х в базисе е1,...ек

55. Пусть Р — вектороное пр-во, е1,...ек — базис Р

Пусть векторы х, у принадлежат Р

Пусть х1...хк — координат. Вектора х

Пусть у1...ук — координат. Вектора у

пусть альфа принадл. R, тогда

1) х1+у1, х2+у2, …, хк+ук — координаты вектора х+у в данном базисе

2) альфа х1,..., альфа хк — координаты вектора альфа х в данном базисе

56 е1=с11е1+с21е2+...+скек

е2=с21е1+с22е2+...+с2кек

ек=ск1е1+ск2е2+...+сккек

е — векторы, с — коэффициенты

57. Лемма А, В — мат-ца, рамера mxn.
Пусть для любого столбца Х длины n справедливо равенство АХ=ВХ. Тогда А=В.

58. Т.: пусть Р — векторное пр-во. (е1..ек) — базис Р.
Пусть С — мат-ца перехода от 1 ко 2, Д — мат-ца перехода от 2 к 1. Тогда Д=С^-

59. Т.: Р — векторное пр-во.

е1...ек — 1 базис

е^' 1...е^' к — 2 базис

е^''1...е^' к — 3 базис

Пусть С матрица перехода от 1 ко 2

Д от 2 к 3

В от 1 к 3

Тогда В=СД

60. А — линейное отображение если выполняются след. 2 условия

1) для любого х, у принад. V, A(x+y)=A(x)+A(y)

2) для любого х принад V, L принад R, A(Lx)=LA(x)

61. 1) V — вектор. Пр-во

АХ=Х, е1,..ек — базис

2) V=R2

3) V=R³

№62 Коор-ты образа век-ра при действии лин. оператора

V-вект пр-во

A =V->V –лин оператор

е1,…,еn – базис V

] xпринадл V, ]X=|x1| - стобец коор-т в-ра X в базисе е1…еn

|xn|

]А мат-ца оператора в данном базисе

Коор-ты век-ра A (x) в данном базисе = A (х)=АХ

№63 Изменение мат-цы лин опер-ра при изм базиса пр-ва

V – векторное пр-во

e1,…,en-базис 1\

z1,…,zn-базис 2 / Базис V

A- лин оператор на V

А- матрица оператора A в базисе e1,…,en

A1 -----------------//-------------------- z1,…,zn

C – матр перехода от 1 базиса ко 2

х-принадл V

X-столбец координат вект х в 1-ом базисе

X1------------------//---------- во 2-ом базисе

Y--------//--------- вектора A (x) в 1-ом базисе

Y1--------//--------- вектора A (x) в 2-ом базисе

Y=AX

Y1=A1X1

Док-во

X=CX1| => CY1=A(CX1) |=> A1X1=(C^-1 AC)X1 для любого

Y=CY1| Y1=(C^-1 AC)X1|

По лемме: A1=C^-1 AC

№64 Определения диагонализуемого оператора

Оператор-диагонализуем, если в пр-ве сущ базис,

В котором мат-ца этого оператора будет диагональной

№65 Собств числа и собств векторы лин оператора.

Связь с собств числами и векторами мат-цы оператора

1) ] A – лин оператор на пр-ве V и ] х-век-ор из V и λ принадл R

такие, чо А(х)= λ x, тогда х – собств вектор оператора A, соответ

собств числу λ,где x ≠ 0

2) ] e1,…,en – базис пр-ва V. ] X – столбец коорд век-ра х в этом базисе,

а A – матрица оператора в этом базисе

Если х – собств вектор оператора A, соответ

собств числу λ, то Х – собств вектор матрицы А, соотв собств числу λ

A(x)= λ x

AX= λ X

№66 Необходимое и достаточное условие диагон лин оператора

Т: V – вект пр-во, A оператор на пр-ве V, тогда A диагонал в том и только

Том случае, если в пр-ве V сущ базис из собств векторов A
Другими словами:Если у опер есть n сумма ЛНЗ собств векn-ов(n-размр пр-ва)

№67 Ортогональные и ортонормированные базисы. Примеры

базис-ортогональный, если век-ры вход в этот базис попарно ортогональны

Ортонормированный базис-ортогон базис, длины его вект-ов равны ед вектору

Примеры: 1) (1,0)х(0,1)=0 – ортогональны и принадл R^2

2) 2) (1,0), (0,1) принадл R^2; |(1,0)|=1; |(0,1)|=1 - ортонормированы

Дата добавления: 2015-12-07