Свойства Определителя

1)detE=1

2) При перестановке двух параллельных рядов, определитель меняет знак.

3) Если элементы какого-либо ряда определителя представляют собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть разложен на сумму двух соответствующих определителей

А= a b

c₁+c₂ α₁+α₂

detA=(α₁+α₂)a-(c₁+c₂)b

a b a b a b

A= c₁+c₂ α₁+α₂ = c₁ α₁ + c₁ α₁

detA=aα₁-bc₁+aα₂-bc₂=a(α₁+α₂)-b(c₁+c₂)

Общий множитель какого-либо ряда определителя можно вынести за знак определителя.

detA(cA)=c·detA

A= 2 4

1 2

detA= 2 4 =2 1 2 =2(7-6)=2

1 2 2 7

detA= 2 4 =14-12=2

3 7

4) Если в матрице есть две одинаковые строчки, то определитель этой матрицы равен нулю.

Поменяем в матрице местами две одинаковые строчки. С одной стороны, определитель не изменится, т.к. матрица не меняется. Однако,на основании свойства 2 определитель должен поменять. А число, которое не меняется при изменении знака равно нулю.

5) Определитель матрицы с нулевой строкой равен нулю

А₁ A₁

А₂ A₂

А= 0 detA= 2·0 =2detA. detA+2detA только если detA=0

А₃ A₃

А_n A_n

6) Определитель не меняется при элементарных преобразованиях строк матрицы

А₁ A₁

A= A₂ B= A₂+cA₂

A₃ A₃

A₄ A₄

detA=detB

А₁ A₁ A₁

detB=detA A₂ + det cA₂ = detA+c·det A₂ =detA+c·0=detA

A₃ A₃ A₃

A₄ A₄ A₄

7) Матрица обратима только в том случае, если ее определитель не равен нулю.

Если матрица А необратима, то detA=0

Т.к. матрица необратима, то ЭП строк можно привести матрицу А к матрице содержащей нулевую строчку.

Т.к. det матрицы содержащую нулевую строчку равен нулю, то и det исходной равен нулю.

Если матрица обратима, то определитель этой матрицы не равен нулю.

Т.к. матрица обратима, то после проведения ЭП у неё не будет нулевых строк, значит определитель этой матрицы не равен нулю.

8) Определитель произведения матриц

det(A+B)=detA·detB

A= a₁ b₁ B= a₂ b₂

c₁ α₁ c₂ α₂

detA=a₁α₁-b₁c₁ detB=a₂α₂-b₂c₂

detA·detB= (a₁α₁-b₁c₁)(a₂α₂-b₂c₂)

AB= a₁ b₁ B= a₂ b₂ = a₁a₂+b₁c₂ a₁b₂+b₁α₂

c₁ α₁ c₂ α₂ = c₁a₂+α₁c₂ c₁b₂+α₁α₂

det(AB)=(a₁a₂+b₁c₂)(c₁b₂+α₁α₂)-(c₁a₂+α₁c₂)(a₁b₂+b₁α₂)=(a₁α₁-b₁c₁)(a₂α₂-b₂c₂)

9) Определитель транспонированной матрицы

det(A^T)=detA

A= a b A^T= a c

c α b α

detA=aα-cb det=

detA^T=aα-bc =detA^T

Раз при транспонировании определитель не меняется, то все остальные свойства действуют на столбцы.

10) Разложение по произвольному столбцу. Определитель равен сумме двух произведений элементов некоторого ряда на соответствующие им алгебраические дополнения.

a₁₁ a₁₂ a₁₃

a₂₁ a₂₂ a₂₃ =а₁₁А₁₁+a₁₂A₁₂+a₁₃A₁₃

a₃₁ a₃₂ a₃₃

а₁₁А₁₁+a₁₂A₁₂+a₁₃A₁₃= a₁₁a₂₂a₃₃-a₁₁a₂₃a₃₂-a₁₂a₂₁a₃₃-a₁₂a₂₃a₃₁-a₁₃a₂₁a₃₁-a₁₃a₂₂a₃₁=det

34.Алгебраическое дополнение. Сумма произведений элементов произвольной строки квадратной матрицы на их алгебраическое дополнения.

Алгебраическим дополнение элемента a_ij определителя называется его минор, взятый со знаком "плюс", если сумма i+j - четное число и со знаком "минус", если эта сумма нечётная. Пример см. выше

Дата добавления: 2015-12-07