Описание установки. Изучение закона нормального распределения погрешностей проводится на механической

Изучение закона нормального распределения погрешностей проводится на механической модели, называемой доской Гальтона. Установка состоит из вертикальной доски 1, на которой закреплены в шахматном порядке стержни 2, служащие для рассеивания шариков, поступающих из хранилища 3, расположенного вверху доски. Под стержнями расположены одинаковые ячейки, разделенные перегородками одинаковой высоты 4. Шарики удерживаются в хранилище стерженьком 5, закрывающим отверстие, через которое шарики высыпаются из хранилища. Лицевая часть доски закрыта стеклом.

Зерна сыпучего материала, например, пшена, падая из воронки, неоднократно ударяются о штырьки и отклоняются от вертикального направления. Положительные и отрицательные направления отклонения равновероятны. Вследствие большого числа таких рассеивающих центров, зерна могут попасть в любую из ячеек. Если каждой ячейке присвоить определенный номер (координату x =...,-5,...,0,...,5,...), то можно говорить о распределении зерен по координатам (ячейкам) x_i. Число x_i (случайная величина - номер ячейки, в которую попадет зерно) дает значение отклонения расположения зерна от среднего положения, принятого за ноль - начало координат. Вероятность попадания зерна в i-ю ячейку может быть оценена как отношение числа зерен, попавших в эту ячейку - n_i, к общему числу всех высыпанных зерен N.

(9)

Роль плотности вероятности f(x) в данном случае будет играть отношение

(10)

где Δx - ширина ячейки, которая в нашем случае выбирается за единицу.

Условие нормировки будет иметь вид:

Число зерен в i-ой ячейке можно выразить через уровень зерна в этой ячейке: n_i = ay_i, где a - коэффициент пропорциональности. Общее число зерен во всех ячейках:

Эмпирическое значение плотности вероятности можно найти из отношения:

, т.к. Δx=1 (11)

Теоретическая зависимость распределения зерен по ячейкам при большом числе зерен и бесконечно узких ячейках будет гауссовой:

(12)

где ϭ (см. формулу 8) с учетом того, что каждое отклонение x_i, а следовательно и каждое значение x_i² входит в данную серию измерений n раз (где n_i = аy_i), запишется следующим образом:

Дата добавления: 2015-12-07